多项式的不确定求和

我一直在尝试多项式的总和。 我的罢工线是处理这个主题,我当然会对微积分,但不利用限制。

使用一个非常简单的实例,我打算在$10$和$20$之间添加所有数字,并且还要找到一个多项式,我可以将这些数字直接连接到我的解决方案。 我相信它的某种多项式的级别为$2$。 所以我做了一个整数'区分':$$ \mathrm{diff}\left(x^{2}\right)=x^{2}-\left(x-1\right)^{2}=2x-1 $$

我可以从中看到我几乎有我的解决方案,所以想一个倒置的'同化'程序并重新安排:$$ \frac{1}{2}\mathrm{diff}\left(x^{2}+\mathrm{int}\left(1\right)\right)=x $$

目前,我认识到1的'不确定的必不可少'只是x,来自'设置'$x-(x-1) = 1$。 所以不可避免地:$$ \frac{1}{2}\left(x^{2}+x\right)=\mathrm{int}\left(x\right) $$

所以为了得到我的解决方案,我采取'精确'必不可少的:$$ \mathrm{int}\left(x\right):10,20=\frac{1}{2}\left(20^{2}+20\right)-\frac{1}{2}\left(9^{2}+9\right)=165 $$(下限要求降低一个)

我的询问是,存在一种基本方法,我可以“合并”任何一种多项式,这种方式?

请原谅我缺乏严谨性和奇怪的符号。

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2019-05-04 17:01:41
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答案: 4

您的“差异”实际上称为(向后)有限差分

\begin{align} \nabla_1 [ P ](x) &= P(x) - P(x-1) \\ &= P(x-1+1) - P(x-1) \\ &= \Delta_1[ P ](x-1) \end{align}

反向前向限制区分称为无限期的总和。 从维基百科中删除,多项式的有价值的解决方案是:

\begin{align} \Delta^{-1}_1 x^n &= \frac{B_{n+1}(x)}{n+1} + C \\ \Delta^{-1}_1 af(x) &= a \Delta^{-1}_1 f(x) \end{align}

(B n +1 (x)是伯努利多项式。)

Δ - 1 可以通过替换$x \mapsto x + 1$将其转换回“int”。

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2019-05-08 05:41:23
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实际上,我们会记住各种其他解决方案,您将发现有限差分的微积分

对于合理的估计,低于最有价值的现实:监管

$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$

代表

$\Delta_1 x(x-1)(x-2)\cdots(x-(n-1)) = n x(x-1)(x-2)\cdots(x-(n-2))$

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2019-05-08 05:38:21
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你似乎抓住了有限差分的微积分,如果一个公认的主题,现在反而过时了。 对你的询问的回应当然是:提供多项式$f(x)$有一个多项式$g(x)$(比$f$更高一级),这样$$f(x)=g(x)-g(x-1).$$这个多项式$g$(就像$f$必不可少的)是它的独一无二的保存常数。 一旦有$g$,那肯定是$$f(a)+f(a+1)+\cdots+f(b)=g(b)-g(a-1).$$

当$f(x)=x^n$是单项时,$g$的系数需要不断显着的伯努利数

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2019-05-08 05:36:57
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对于任何类型的某个多项式,有一个不太复杂的方法来进行不确定求和而不是使用伯努利数,而不是Greg Graviton的解。 下面我们将使用前向区分$\Delta f(x) = f(x+1) - f(x)$。 之后

$\displaystyle \Delta {x \choose n} = {x \choose n-1}.$

这表明我们可以在任何类型的多项式上执行“泰勒开发”,通过查看绝对没有的有限区别$\Delta^n f(0)$来将其写入$f(x) = \sum a_n {x \choose n}$类型。 对于任何类型的某个多项式$f$,通过创建表来很容易地写下这些有限的区别。 总的来说,公式是

$\displaystyle a_n = \Delta^n f(0) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} {n \choose k} f(k)$

因为可以通过创建$\Delta = S - I$来方便地确认,其中$S$是更改驱动程序$S f(x) = f(x+1)$,并且$I$是标识驱动程序$I f(x) = f(x)$。 之后,$f$的不确定量仅为$\sum a_n {x \choose n+1}$。 这是最方便的方法,我认识到如何手动进行这样的计算,并且它还带来了一种非常简单的多项式插值方法,它提供了连续整数的多项式的值。

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2019-05-08 04:56:26
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