L'Hospital的某个例子

允许$f$是在开放周期$(a,b)$上指定的函数,其具有$1,2, \dots , n-1$阶的连续副产品,并且还存在因子$c \in (a,b)$,使得$f(c), f^{{1}}(c), \dots , f^{(n-1)}(c)$都是$0$。 尽管如此,$f^{n}(c)$不是$0$,我们也可以认为$f^{n}(x) > 0$适用于$x \in (a,b)$,但仍然如此 没有关于联系的假设 $f^{(n)}(x)$ 制作完成 。 在这个例子中是真的,$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{(x-c)^n} = \frac{f^{(n)}(c)}{n!}$?

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2019-05-04 17:16:06
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答案: 1

L'Hospital的规定不依赖于副产品的连接。 根据你的问题,$\lim_{x\to c}f^{(k)}(x)=0$为$k\le n-1$,所以l'医院的规定可以与提供相关:$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{(x-c)^n} =\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{n(x-c)^{n-1}} =\cdots =\lim_{x\to c}\frac{f^{(n-1)}(x)}{n!(x-c)} =\lim_{x\to c}\frac{f^{(n)}(x)}{n!}. $$

但是,要坚持$\lim_{x\to c}\frac{f^{(n)}(x)}{n!}=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}$在$c$处连续调用$f^{(n)}$。 ($n!$独立于$x$,因此$\lim_{x\to c}\frac{f^{(n)}(x)}{n!}=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}$和$\lim_{x\to c}f^{(n)}(x)=f^{(n)}(c)$相等,最后一个是$c$在$c$处的连接定义。)

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2019-05-08 01:17:11
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