非线性改造可以代表转换矩阵吗?

我只是从一个极端的线性代数讲座中回来,这个讲座揭示了直接的改造可以代表转换矩阵; 随着更加普遍化,后来发现仿射改造(直接+翻译)也可以通过矩阵再现来代表。

这让我想起了前几年我一直在研究数学的各种其他改编。 例如,极地改造 - 将$x$和$y$改为2个新变量$r$以及$\theta$。

如果将$r$映射到$r$轴并将$\theta$映射到$y$轴,则主要进行坐标转换。 一个相反变形的,就是那个。

是否存在一种利用变换矩阵来表示这种情况的方法? 我试图弄乱这些数字,但我尝试与之合作的每件小事实际上都令人尴尬地崩溃了。

值得注意的是,存在一种方法,提供细节非线性变换,从中构建变换矩阵?

0
2019-05-04 17:26:58
资源 分享
答案: 5

正如其他人实际上当前所述,雅可比组件通过将无穷小的位置(或数量)从一个系统连接到另一个系统而将一个坐标系统改变为另外的坐标系统。 考虑从Cartesian到Polar的作品:

\begin{align} J &= \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} =\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\\\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \\\\ \end{vmatrix} \\&=\begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\\\ \sin\theta & r\cos\theta \\\\ \end{vmatrix} =r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r \end{align}

这是因为:

$$\mathrm{d}A = J\;\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$$

$$\iint_\mathbf{R} f(r,\theta)\,\mathrm{d}A = \int_a^b \int_0^{r(\theta)} f(r,\theta) r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$$

告诉你如果你有一个$f(r, \theta)$函数你可以计算必不可少的,只要你记住添加一个变量$r$。 通常的改编实际上都已经完成,也可以找到在维基百科上

0
2019-05-09 02:08:36
资源

您可以代表具有$(n+1)$维矩阵的$n$维向量的一些非直线变化(如平移)。 尽管如此,将矢量转换为其$(n+1)$维的均匀变化并且也不是直接变换以及另外不能表示为矩阵。

额外澄清了这里

0
2019-05-09 02:06:48
资源

正如哈利所说的那样,你不能(仿射改造的例子可以微调,因为它们只是直接的,并且开始转换)。 尽管如此,通过直接函数估计非线性函数是我们经常通过副产品在微积分中经常做的事情,也是我们通常需要做的事情,以使某些实际的数学版本 - 全球感觉易于处理。

0
2019-05-08 07:54:41
资源

不。每件小事都是通过选择基础建立的。 对于一个额外的深度解决方案,我当然需要澄清线性代数的前两周,并且还要吸引一些可交换的布局。

如果你肯定会有更好的描述,请参阅Emil Artin的论文12-14页 几何代数

0
2019-05-08 06:05:13
资源

你不能代表一个矩阵的非直线变换,但是如果你使用统一的坐标,有一些方法(对于一个更好的词的愿望)很容易获得。 作为示例,$3\text{D}$平移是$3\times3$ $3\text{D}$变换矩阵中的非线性变换,但是是$3\text{D}$均匀坐标中的直线变换,其利用$4\times4$变换矩阵。 对于诸如视点估计之类的各种其他观点也是如此。 这就是为什么$4\times4$矩阵在$3\text{D}$图形中使用的原因,因为统一坐标系统可以大量简化点。

为了明确 - 使用统一的坐标,可以使用从简单的直接改造到仿射改造的矩阵以及一些估计来表示可以表示的一系列改编,但它并没有使所有非线性改编都可以表示使用矩阵。 作为一个实例给出的非线性变换仍然是过去的描述作为仿射变换(感谢@Harry在评论中激发这种解释)

0
2019-05-08 02:23:00
资源