什么是对称团队?

这一套实际上已经困扰了我一段时间 - 我对一个对称的团队有各种各样的解释,我都不认识。 说白了,$S_n$是一个团队,我坚持这样做。 目前,维基百科的定义(最方便的是):

集合X上的对称团队是团队,其基础集合是从X到X的所有双射集合,其团队过程也是功能构成的集合。

其中,我可以(很明显地)看到我们有一个基础集合,其中包含一个程序,可以根据团队的定义来制定规则。 我认识到从X到X的双射表示$\forall x \in X$,$x \mapsto x$。 因此,与几何比例一样,如果在某个地图之后它再次变为自身,那么它就会平衡。

一切顺利,也很好,但复合功能如何连接到这个? 毫无疑问,将双向需要权利考虑在内,考虑允许的唯一程序是否能够正确地保留未经修改的集合?

所以,任何人都可以澄清复合特征如何适合我的定义,或者(同样伟大的)给出一个函数的实例,这样我就可以尝试将建议与我发现的解释相吻合。

好多谢了。

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2019-05-04 17:45:22
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答案: 3

我假设你误解了定义/使用 双射 。 我将使用一个实例:

对于$X = \{1, 2, 3\}$,理想的对称团队是$S_3$,它也是X的所有可行排列的集合:

  • $f_1: 1\to 1, 2\to 2, 3\to 3$
  • $f_2: 1\to 1, 2\to 3, 3\to 2$
  • $f_3: 1\to 3, 2\to 2, 3\to 1$
  • $f_4: 1\to 2, 2\to 1, 3\to 3$
  • $f_5: 1\to 2, 2\to 3, 3\to 1$
  • $f_6: 1\to 3, 2\to 1, 3\to 2$

通常,从集合X到其自身的双射是 排列 而且,他们也很轻松地对该组参与者进行了“重新排序”。 它坚持到一组维度n后,特别是n! 排列,因此也是$|S_n| = n!$。

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2019-05-08 03:41:50
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$S_n$的每个参与者都是双射,并且2个双射的构成是另外的双射。 因此,$S_n$在化妆时关闭。

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2019-05-08 03:40:39
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初步调查断言作者尚未认识到对称团队的解释。

在这个例子中,我认为开始的理想(我假设)是最容易获得的定义之一。

$S_n$,$n$数字$1,\ldots,n$上的对称团队是置换数字集$1,\ldots,n$的所有可行方法的集合

例如,一个可行的排列($S_n$的组成部分)是

$g = (1,2,\ldots,n) \Rightarrow (2,3,\ldots,n,1)$

这组排列创建了一个团队:复制只是执行一个排列,然后是下一个排列。 所以

$g\cdot g = g^2: (1,2,\ldots,n) \Rightarrow (3,4,\ldots,n,1,2)$

我假设你首先需要对这个定义感到舒服。 一旦你想到它一段时间,你就会明白每个排列都可以作为${1,\ldots,n}$集合的函数来表示。 作为示例,置换$g$ over肯定是发出$1 \mapsto 2$,$2 \mapsto 3$等的函数(整体上,$n \mapsto n + 1$,其中$n$映射回$1$)。

如果你假设多一点,你会明白你从这种风格的排列中获得的任何函数必须是双射的(也就是说,排列不能,声称,将所有数字$1,\ldots,n$发送到$1$,因为那是显然不是排列)。

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2019-05-08 02:18:08
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