为什么$\frac17$的十进制描述是“间歇性的”?

$\frac17 = 0.(142857)$ ...

与括号中的数字重复。

我认识到它是一个重复部分的因素是由于$7$和$10$是互质的。 然而,这种......间歇性的东西是我所认识到的任何一种全自然数的各种其他往复行为都没有观察到的(除了$7$的倍数)。 (如果我不正确,我希望我可以通过此查询找到其他人)

通过“间歇性”,我建议:

1/7 = 0.(142857)...
2/7 = 0.(285714)...
3/7 = 0.(428571)...
4/7 = 0.(571428)...
5/7 = 0.(714285)...
6/7 = 0.(857142)...

每个重复的数字都与数字串重合,但却发生了变化。 不仅仅是一个直截了当的“他们只是重新安排的相同数字”,而是相同的数字 以相同的顺序 ,但改变了。

或者可能更加明显,来自维基百科文章

1 × 142,857 = 142,857
2 × 142,857 = 285,714
3 × 142,857 = 428,571
4 × 142,857 = 571,428
5 × 142,857 = 714,285
6 × 142,857 = 857,142

关于基数$10$(以及它的素因子化$2\cdot 5$?)的数量$7$是什么,它允许它以这种方式进行往复运动? 拥有这座建筑是否(以及它的倍数)是独一无二的?

维基百科有关于这个主题的文章,并且还提供了一种用于获取它们并且还创建近似的那种,但是几乎没有显示“为什么”,并且还找到具有循环反转的数字。

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2019-05-04 18:28:32
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答案: 2

它与1/19 = 0(052631578947368421)合作,而n / 13有2个循环:1/13 = 0.(076923),2/13 = 0.(153846),3/13 = 0.(230769 ),4/13 = 0.(307692),5/13 = 0.(384615)等等。

当你从我们运行的基数中得到不同的素数p时,必须显示一个循环(所以在基数10中从2和5中不同)是明确的:如果你执行冗长的部门1 / p,单向或必须重复另一个部分比率,并且还要从比率上重复这些因素。 循环的大小必须是p - 1的除数:它可能是短暂的(假设在1/11 = 0.(09))或具有最大可行长度,如7和19的实例。

维基百科有一篇关于循环数的文章,还有一些其他实例是这里; 但是,没有为一个数字提供足够的规则来使其倒置间歇性。

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2019-05-08 08:18:46
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对于素数p,$\frac{1}{p}$的复制块的大小是$p|(10^k-1)$的最不利的整数k。 在mau的解决方案中,$k|(p-1)$,所以$k\leq p-1$。 当$k=p-1$之后,在$\frac{1}{p}$之后以及它的倍数在查询中进行审查。

在前100个上衣中,这适用于7,17,19,23,29,47,59,61,97,109,113,131,149,167,179,181,193,223,229,233, 257,263,269,313,337,367,379,383,389,419,433,461,487,491,499,503,509,541(OEIS中的系列A001913)。

(使用Select[Table[Prime[n], {n, 1, 100}], # - 1 == Length[RealDigits[1/#][[1]][[1]]]&]在Mathematica中创建的列表。)

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2019-05-08 03:21:18
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