为什么三次多项式的判别式远小于$0$显示复杂的根?

三次多项式$ax^3 + bx^2 + cx+ d$ 不仅表示当$\Delta$消失时是否存在重复的根判别 $\Delta = 18abcd - 4b^3d + b^2 c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2$,另外还有3个不同的实际根,如果$\Delta > 0$,则有一个实际原点,如果$\Delta < 0$则还有2个复杂的根(复杂的共轭)。

为什么$\Delta < 0$显示错综复杂的根? 我认识到,由于指定判别式的方式,它表明如果它消失,则存在重复的原点,但为什么$\Delta$多于$0$或远小于$0$具有唯一的定义呢?

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2019-05-04 18:33:43
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答案: 2

通过考虑多项式的根$\{ r_1, r_2, r_3 \}$的各种实例来获得这些效果:重复的原点,所有独特的实际根,或2个复杂的根以及一个实际的原点。

当根之间重复时,声明$r_1$以及$r_2$,之后很明显判别式是$0$,因为关于该项的$r_1 - r_2$是$0$。

当一个原点是一个复杂的数字$\rho = x+ yi$,之后是复共轭根定理,$\overline{\rho} = x - yi$另外是一个原点。 根据同样的理论,继续成为第三原点必须是实际的。 检查此实例的判别式中的项目,

$$ \begin{align*} (\rho - \overline{\rho})^2 (\rho - r_3)^2 (\overline{\rho} - r_3)^2 &= (2yi)^2 (x + yi - r^3)^2 (x - yi - r^3)^2 \\ &= -4y^2 [((x - r_3) + yi) ((x - r_3) - yi) ]^2 \\ &= -4y^2 ((x - r_3)^2 + y^2)^2 \end{align*} $$

它远小于或等于$0$。

最终,当所有根都是实际的时,该项目显然是有利的。

将所有内容相互放置,$\Delta$:

  • 远小于$0$表明原点错综复杂;
  • 相当于$0$表示原点是重复的;
  • 超过$0$表示所有根都是突出的,也是实际的。
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2019-05-08 23:46:05
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任何类型的monic多项式的判别式是根的区别的平方的项$\prod_{i \neq j} (x_i - x_j)^2$(在代数闭包中,作为示例$C$)。 参看 关于这个的维基百科文章。 随后,如果根都是实际的,也是独特的,这必须要声明。

(如果多项式不是monic,则包含变量$a_0^{2n-2}$,$a_0$为前导系数,$n$为等级;这声明为实际多项式。)

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2019-05-08 08:39:55
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