正确$\mathbb R$的可衡量子组

如果$(\mathbb{R},+)$是一个团队,并且$H$是一个正确的$\mathbb{R}$子组,那么确认$H$的动作绝对没有。

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2019-05-05 00:48:38
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答案: 2

您的标题是关于“R的正确可量化子组”,但您的博客文章的主体并未要求H可以量化。 遵守概要表明,如果H是R的正确子群并且也是可量化的,那么它必须是动作0.我不确定每个子群是否必须是可量化的或其他

以下是证据的严厉概要:

引理1:如果H是R的一部分并且也有有利的作用,那么在H - H = a,b之后,H中的周期约为0.证据:见http://unapologetic.wordpress.com/2010/04/23/lebesgue-measurable-sets/

对于引理2和3,我会将证据留给您(但如果您需要,我可以添加信息)。

引理2:如果H是G的子群,则在H - H = H之后。

引理3:如果H是实际数R的一个子群,并且周期大约为0,那么H = R.

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2019-05-08 22:26:05
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正如Jason DeVito所记得的那样,如果在H的动作为0之后H是可量化的。

从另外一方面来看,如果我们打算,选择公理成立,那么就有机会H不可量化。 证据相当简单。 $\mathbb{R}$ 是一个矢量房间 $\mathbb{Q}$ 。 因此有一些基础。 Intend e只是其中一个组件,H也是一个子空间 $\mathbb{R}$ ,由他人创造。 之后H是(的一个子群) $\mathbb{R}$ ,+)。

引理:H不可量化。

意图H是可量化的。 在那之后,记住了,它的动作m(H)= 0.在那之后的每一组 $H+q e = \{h+qe, h\in H\}$ ,哪里 $q\in Q$ ,有动作0(由于它只是H的变化)。 然而 $\mathbb{R}$ 相当于可数的几个集合与行为0的结合: $\mathbb{R} = \cup_{q\in\mathbb{Q}}(H+qe)$ 。 所以 $m(\mathbb{R})=0$ 。 我们实际上涉及反对派。

此外,还有直接的证据表明,如果H是可量化的,那么H就是行动0。

引理:如果H是可量化的正确子群 $\mathbb{R}$ 之后,m(H)= 0。

如果H = 0,那么引理的建议是显而易见的。 或者我们可以在H中找到有利的分量z。假设, $H_0 = H\cap [0,z)$ 。 如果 $m(H_0)=0$ 之后 $m(H)=0$ 。 要不然 $m(H_0)=\delta>0$ 。 允许取整数N,这样 $\delta N > z+1$ (我们后来肯定会看到,为什么)。 请记住,如果x不在H中,那么在x / n之后(对于每个有利的整数n)并且-x也不在H中。因此,利用H所属的现实,我们可以找到有利的x <1,这样 $x\notin H$ 。 意图y = x / N!。 之后为 $n=1,\dots,N$ 数字ny符合坚持建筑:
1. 1> ny> 0。
2.不在H.
在此之后建立 $H_0, H_0+y, \dots, H_0+(N-1)y$ 是不相交的部分 $[0, 1+z)$ 。 所以, $\displaystyle 1+z = m\Big( [0, 1+z) \Big) \geq m\Bigg(\bigcup_{n=0}^{N-1} (H_0 + n y)\Bigg) = N \delta.$ 在这里,我们对N的定义持反对意见。

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2019-05-08 19:19:47
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