构造从$\mathbb{R}$到$\mathbb{R}\setminus S$的双射,其中$S$是可数的

2查询:

  1. 找到从$(0,1)$到$[0,1]$的双射函数。 鉴于我几天前看到它,我没有找到补救措施。 它让我感到很奇怪 - 将一个开放的集合映射到一个关闭的集合中。

  2. $S$是可数的。 当$|\mathbb{N}| = |\mathbb{N}\setminus S|$时,定位双射函数$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\setminus S$并不重要; 允许$f(n)$等效于$\mathbb{N}\setminus S$中$n^{\text{th}}$最小的数字。 对$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\setminus S$存在任何类似的不重要的补救措施?

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2019-05-05 01:24:02
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答案: 2

组件$1$的特定双射$(0,1) \to [0,1]$由以下提供:

$$f\left(\frac{1}{2}\right) = 0,\quad f\left(\frac{1}{3}\right) = 1,\quad f\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n-2}\ \textrm{for}\ n > 3,$$

$$f(x) = x\ \textrm{for}\ x\ \textrm{not equal to a reciprocal of an integer}$$

对于双射$\mathbb{R}$到$\mathbb{R}\setminus S$,我们可以将$S$的组件编号(由于$S$可计数的事实)为$s_1, s_2, s_3, \dots$选择$\mathbb{R}$的独特组件的无边界$t_1, t_2, \dots$,其中没有一个保留在$S$中。 之后指定:

$$g(s_i) = t_{2i},\quad g(t_i) = t_{2i+1},\quad g(x) = x\ (\textrm{otherwise}).$$

这是从$\mathbb{R}$到$\mathbb{R}\setminus S$的双射。

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2019-05-08 04:49:08
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施罗德 - 伯恩斯坦定理的证据允许你获得双射 1 假设我们有一个镜头$(0,1) \to [0,1]$和一个双射$f: [0,1] \to [1/4, 3/4] \subset (0,1)$(声明$x \to x/2 +1/4$)。 函数的定义肯定会相当令人不愉快(主要是,它依赖于你可以根据当前指定的镜头提高因子的次数,尤其是各种次数的奇偶校验),但它会做到这一点。

对于 2 ,迭代这个建筑和构造以获得双射$R \to R - N$。 在提供任何类型的可数集$S$之后,指定交换$N$和$S$的$R$的映射,并且还留下处理的每个其他各种因素。 在那之后,第二张地图的第一张双射的构图是你的双射。

要考虑的连接因素表明地图不能连续:in 1 作为一个例子,我们肯定或者说$(0,1)$是可移植的,但事实并非如此。

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2019-05-08 04:33:50
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