$n$-hemisphere的重心

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请记住,我正在使用距离为$r$的$n$-sphere的几何定义,即xxx_ math_3

意图我有一个$n$-球体聚焦在$\bf 0$的$\bf 0$中,距离为$r$,实际上已经通过$\mathbb{R}^{n-1}$中$\mathbb{R}^{n-1}$的$k$轴对齐的超平面(注意,$k \le n$)直接分成$2^k$ orthants。 例如,如果是$k=1$,我们有$2$ $n$-hemispheres。

下面是 查询 :我怎样才能找到这种orthant的重心? 或者(鉴于我还在使用它),你怎么能找到$n$-hemisphere的重心?

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2019-05-05 01:27:38
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答案: 1

一个人将这些身体的质量中心定位为一个。 通过同化提供任何类型的身体。

$\mathbb{R}^n$中区域$A$的质心的$x_i$坐标。 是。 $$\frac{\int_A x_i\ dx_1\cdots dx_n}{\int_A\ dx_1\cdots dx_n}.$$。 该区域下方也可能位于飞机$x_n=a$和$x_n=b$之间。 在距离$r$的一轮中心位于开头。 利用比例。 $A$这个积分的比例相当于。 $$\frac{\gamma_{n-1}\int_a^b x_n(r^2-x_n^2)^{(n-1)/2} dx_n} {\gamma_{n-1}\int_a^b (r^2-x_n^2)^{(n-1)/2} dx_n}$$。 (在$x_n$指令中)其中$\gamma_{n-1}$是$(n-1)$维的数量。 设备轮(并且也有义务终止)。 这些积分可以被击中。 三角形替换。

编辑 目前很清楚我对你的询问的初步分析。 不对。 尽管如此,目前还不清楚你的质心是否正常。 是强烈的orthant或弯曲的表面区域。 无论你的orthant。 由$x_1,\ldots,x_k\ge0$之后的问题指定其中心。 质量具有$(a,\ldots,a,0\ldots,0)$,其中$a$依赖于$r$。 还有$n$ 在$k$上。 人们从麻烦的比例中看出这一点。 因此,麻烦降低到半球实例。 在强大的实例中。 解决方案是。 $$a=\frac{\int_0^r x(r^2-x^2)^{(n-1)/2} dx} {\int_0^r (r^2-x^2)^{(n-1)/2} dx}$$。 而在“覆盖”实例中它是。 $$a=\frac{\int_0^r x(r^2-x^2)^{(n-3)/2} dx} {\int_0^r (r^2-x^2)^{(n-3)/2} dx}$$。 (如果我已经完成了我的金额)。

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2019-05-08 04:36:00
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