在类别理论中创建一个反例

Geroch的数学物理中的锻炼$10$询问直线物品是否在近似组中分散直线量。 (他们在集合中进行,这是鼓励调查的原因)。 也就是说,(利用$A \times B$建议直项并且$A+$B是直线量),$A \times (B+C)$和$(A\times B)+(A \times C)$之间是否存在同构。

之前的一项调查要求您显示项目的关联性。 $(A \times B) \times C$与$A \times (B \times C)$同构。 这也适用,当并非所有事物都有物品时(即它确实如此) 如果 $A \times (B \times C)$和$(A \times B) \times C$都存在,之后它们是同构的...)所以我接受这个询问并没有要求所有的东西都有物品......

我不认为有相关的同构,但我不确定我做了什么证实了它。 所以我的研究是:坚持论证是否是接近类别理论研究的绝佳方式?

所以我绘制了一个$A,B,C,A \times B,A \times,C,B+C,A\times (B+C),(A\times B)+(A\times C)$,并且还记入所有箭头,我认识到项目的解释和数量(例如$A \times B$保证有一个箭头从$A \times B$到$A$,还有一个到$B$ ......)然后我发现这个布局没有从$A\times (B+C)$到$(A\times B)+(A \times C)$或其他各种方式的箭头。 也就是说,也允许箭头的组成,在两者之间不需要有一种态射。 因此,我声称,这表明这个布局是一个组的布局,其中$A\times (B+C)$与$(A\times B)+(A \times C)$不同构,因为如果它们之间没有态射,则不会有任何类型的同构。

这是在类别理论中创建反例的绝佳方式吗? 是否存在以这种方式使用的“布局”的任何一种艰苦的对话? (我听说过,但我不知道在哪里看)。

这是一个关于我正在使用的方法是否是一个优秀方法的调查,实际上并不涉及有关宣言的实际价值。

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2019-05-05 02:12:21
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答案: 5

请注意,在你的实例中(关于我认识到,你有一个只有8件事的小组)你的小组没有物品和副产品(你只有一些独特的东西(例如,你没有物品) $(A\times B)\times(A\times C)$。

因此,如果您的锻炼与包含物品和副产品的团体有关,那么您的实例不是解决方案。

构建反例的最基本方法是检查一些众所周知的群体。 对于研究范畴理论而言,它肯定是相当有价值的,因为你肯定会研究抽象概念在具体实例中提出的建议。 在此实例中,您可以在设置区域中查找矢量房间的实例组。

另一种方法是利用一些方法来构建你认识的人的新组(例如,Robin Chapman所揭示的)。

另一种方法是简单地创建一些简单的组 - - 这是您实际尝试的方法。

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2019-05-08 22:12:58
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所有团队中的一组也是一个反例。 允许$A,B,C:=\mathbb{Z}$,LHS是$\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z} * \mathbb{Z})$,并且RHS是$(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z})*(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z})$,它们不是同构的,因为它们的Abelianizations是$\mathbb{Z}^3$,resp。 $\mathbb{Z}^4$。

另一个例子是Vector房间组。 如果$A,B,C$只是一维矢量室,则LHS的测量值和RHS的测量值不一致(注意$\times\neq \otimes$)。

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2019-05-08 22:12:11
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我不是这个问题的专家,所以请原谅我,如果这是显而易见的。 我看到你做了什么,但这不是一个“浅薄”的群体吗? 产品和副产品请求全球建筑物,因为我们可以通过它们相对于各种其他态射因子。 例如,如果有来自B的箭头和C中的箭头,那么在此之后你立即有一个从B + C到A的新箭头,它不在你的布局中

现在下面是我摆脱字符串的地方:如果你认为所有东西A,B和C都存在物品和副产品,那么A,B和C之间是否还有其他几个箭头? 否则,在那之后你可能会很好,但我根本不认识你是否能想到这一点。 (一氧化碳)项目的解释参考了各种其他箭头,所以如果没有,那么之后的所有(一氧化碳)项目都不浅?

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2019-05-08 08:54:44
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声明$A\times(B+C)$同构的声明的双胞胎。 $(A\times B)+(A\times C)$是$A+(B\times C)$是同构的。 到$(A+B)\times(A+C)$。 目前,如果这个声明在一些不足之处。 组$\mathcal{C}$之后,相反,初始不足。 组$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$。

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2019-05-08 08:49:02
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你实际做的是一个合理的开始。 您实际上已经尝试确认结果,并且您认为它不是真实的。 在这种情况下,您打算寻找一个计数器实例(也只是一个足够的)。

我的指针是一组非交换环。 你仍然有直线金额。 尽管如此,该项目是免费项目。 (对于交换环,它是张量项。)

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2019-05-08 07:46:39
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