为什么复杂功能的合并距离有限?

声明我们有一个函数$\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$,其合并距离为$R>0$。 为什么合并的距离只是$R$? 我们能否结束$z_0$的某些$z_0$必须有一个帖子,分支剪切或停止? 这对于像这样的功能意味着什么
$$f(z)=\begin{cases} 0 & \text{for $z=0$} \\\ e^{-\frac{1}{z^2}} & \text{for $z \neq 0$} \end{cases}$$
有合并距离$0$?

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2019-05-05 02:38:37
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答案: 1

如果合并距离为$R$,则表明圆圈$|z| = R$上存在单个因子。 简单地说,在距离$R$的圆上存在因子$\xi$,使得在$\xi$的区域中不能使用“分析扩展”来扩展该函数。 这是一个简单的圆密度应用,也可以在复杂分析的出版物中找到,作为Rudin的例子。

尽管如此,它并不表示存在帖子,分支剪切或停止,尽管这些肯定会创建单个值。 毫无疑问,如果你可以分析性地将功率集合转移到具有磁盘$D_R(0)$的正确域,那么边界上的“帖子”就会很有意义,而这通常也很困难。 作为示例,功率集合$\sum z^{2^j}$不能在设备盘外部完全进行,因为它沿着角度为二元部分的任何类型的光线是无限的。 设备圈是它的全天然边界,但声称该功能具有分支因子或在那里张贴是没有意义的。 (更常见的是,可以证明在飞机上提供任何类型的域,有一个全纯函数,因为域无法扩展任何更好,基本上在同一主题上使用变体。)

顺便说一句,函数$\sum_j \frac{z^j}{j^2}$在关闭设备磁盘上是连续的,尽管事实上存在单个因素。 因此,连接可能在单个因素上发生。

您声明的最后一个功能是在绝对没有的区域内没有功率收集开发。 实际上,它绝对不会持续,因为如果你在虚构的轴线上接近绝对没有它会影响它。

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2019-05-08 09:06:11
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