存在这个lcm识别的直接证据?

鉴定

$\displaystyle (n+1) \text{lcm} \left( {n \choose 0}, {n \choose 1}, ... {n \choose n} \right) = \text{lcm}(1, 2, ... n+1)$

可能不受欢迎。 我认识到如何确认它的唯一方法是利用库默尔的定理,分离${a+b \choose a}$的$p$的功能是在$a$和$b$中添加$a$所需的各种凸耳。 存在一个额外的直接证据,例如,通过揭示每一方将其他各方分开?

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2019-05-05 04:17:46
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答案: 3

考虑 莱布尼兹谐波三角形 - 一个类似于“Pascal三角形转向”的表:在它的两侧存在数字$\frac{1}{n}$,并且每个数字都是它下面的2的数量(参见图片)。

可以通过感应方便地证明莱布尼兹三角形的第n行中的第m个数是$\frac{1}{(n+1)\binom{n}{m}}$。 因此,我们识别的LHS只是在第n行的第n行中的部分。

然而,不难看出任何类型的数字都是三角形边上的整数直线组合(即$1/1,1/2,\dots,1/n$) - 而且反之亦然。 所以LHS等于$lcd(1/1,\dots,1/n)$--具体是RHS。

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2019-05-09 03:49:39
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它肯定需要一些辉煌的东西。 对于$n + 1 = 6$,您需要$6$乘以$1, 5$的lcm和$10$,以便获得2(以及3)的足够幂。 存在$n + 1$的特征,其中$n + 1$的整个变量是必需的,左边也不是lcm?

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2019-05-08 04:57:14
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更常见的是,对于$0 \leq k \leq n$,有一个标识

$(n+1) {\rm lcm} ({n \choose 0}, {n \choose 1}, \dots {n \choose k}) = {\rm lcm} (n+1,n,n-1, \dots n+1-k)$。

这仅仅是$f(x), \Delta f(x), \Delta^2 f(x), \dots \Delta^k f(x)$的任何类型的整数直接混合是$f(x), f(x-1), f(x-2), \dots f(x-k)$的整数直接混合的现实,其中$\Delta$是区别驱动器,$f(x) = 1/x$,以及$x = (n+1)$。

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2019-05-08 02:37:55
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