确认此功能是有界的

这是一个锻炼 指南中的问题 安德里斯库和Dospinescu。 当它是一年前的张贴在AoPS上时,我投入了许多小时试图解决它,但没有结果,所以我希望下面的人能告诉我。

麻烦: 确认指定的函数$f : [0, 1) \to \mathbb{R}$

$\displaystyle f(x) = \log_2 (1 - x) + x + x^2 + x^4 + x^8 + ...$

是有界的。

最初的监控是$f$喜欢$f(x^2) = f(x) + \log_2 (1 + x) - x$。 我试验了一段时间使用这个有用的公式,但却无法使其正常运行。

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2019-05-05 04:55:17
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答案: 2

从(xn_math_0的全自然对数)开始,$\log(2)$变量的来源变得更加清晰。

需要证明$\Sigma (x^{2^k} - C\log(1 + x^{2^k}))$是有限条款的有限数量。 第一个$n$项的数量接近$n - Cn\log(2)$为$x \to 1-$,因此如果存在有界性,我们需要$C = 1/\log(2)$。

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2019-05-08 09:18:34
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好的,需要第二种方法(但事实上它最终会遇到麻烦)。 它的行为也很直接,这可能是作家通过“书”补救计划的。

允许$f(x) = x \log(2) - \log(1+x)$。 我们打算证明$S(x) = f(x) + f(x^2) + f(x^4) + \dots$是有界的。 由于$f(0)=f(1)=0$和$f$是可微分的,我们可以找到一个常数$A$,使得$|f(x)| \leq Ax(1-x) = Ax - Ax^2$。 这个超过幂$x^{2^k}$的数量是可伸缩的。

通知$\log(2)$的职责是确定$f(1)=0$。

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2019-05-08 08:33:18
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