哪些连续特征是多项式?

意图$f \in C(\mathbb{R}^n)$,即$\mathbb{R}^n$上连续$\mathbb{R}$值的特征的空间。 在$f$上存在问题,确保它是在某些同胚下多项式的回拉? 也就是说,什么时候可以找到$\phi:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$这样的$f \circ \phi \in \mathbb{R}[x_1,\ldots, x_n]$? 我实际上尝试过用隐含函数理论进行实验但还没有获得太多。 似乎我可能会错过一些非常明显的东西。

一些相关的询问:

  • 当涉及$n = 1$时,一个基本问题是$f$有时无法获得非常相同的值(假设多项式只有几个有限的几个起源)。 这够了吗?
  • 如果我们通过$\mathbb{C}$更改$\mathbb{R}$会发生什么?
  • 如果我们考虑平滑功能会发生什么?
  • 有关设施分析实例的内容?
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2019-05-05 08:23:11
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答案: 2

Eric,我实际上问了一个关于MathOverflow的类似问题,其中包括差异性问题。 请评估此查询及其解决方案,因为它可能会对您的查询有所帮助。

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2019-05-10 06:58:31
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由于我不能发表评论,我正在创建以下内容。 我认为$\phi$被简单地称为同胚,而不是声称是一个微分同胚,这个问题很难实现。

在n = 1的情况下,您绝对可以想到在不同集合上不可微分的连续特征,但可以回退以生成多项式。 作为子实例,考虑函数$f$,即有利实数上的$\sqrt{x}$,以及不利实数上的x。 在$f$回退到多项式$x$之后,考虑有利实数上的同构$x^2$以及不利实数上的x。

我不认为$f$有时肯定不会获得相同的值。 我没有一个反例但我认为可以在这个文章中有一个前景。 这个想法是,几乎每个地方都有连续的功能,而且纯粹是单调的,几乎可以在任何地方获得0。

如果你要求$\phi$是一个微分同胚,我假设你肯定会有更多好运利用隐含函数定理。 另外我认为它真实的是来自$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$的“大多数”连续函数并不是非常精彩(非差异),所以更易处理的查询可能是同样的查询,但要求$f$是平滑的。

如果你用$\mathbb{C}$改变$\mathbb{R}$并强制执行$f$和$\phi$之后两者都是全纯的,我认为$f^{(n)}$对于所有完全巨大的$n$都是消失的,因为你可以从它的taylor集合中收回$f$。

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2019-05-08 09:27:41
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