随机变量的代数?

我一直在网上(以及在培训期刊上)寻找随机变量代数(本科学位)以及它们的使用的优秀介绍,并且实际上已经丢失了。 我知道我可以找到$h(z)$的概率循环,其中:

\begin{equation*} z = x + y. \end{equation*}

如果$x$和$y$来自公认的独立概率循环(补救措施仅仅是卷积)。 2个各种其他程序$z=xy$和$z=y/x$也可以非常方便地解决。

是否有任何人认识到任何其他各种各样的困难,如果需要调整挑战,是否可以利用任意变量进行处理?

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2019-05-05 11:06:48
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答案: 2

为独特的家庭成员提供代数合作伙伴关系。 常规(Cauchy,Levy)任意变量的数量是常规的(Cauchy,Levy)。 log - 常规任意变量项是log - regular。 如果循环具有通常的范围参数等,则伽马任意变量的数量是伽马。请参阅更多这里

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2019-05-08 09:48:00
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在祖父条款中,示例房间是非逆整数(或其一部分),可以将概率循环视为创建函数$f(x) = \sum_{n \ge 0} a_n x^n$,其中$a_n \ge 0$和$f(1) = 1$。 之后,任意变量的数量代表创建要素的项目,因此可以将创建函数策略(例如,参见维尔夫)用于承担此类任意变量。 作为一个例子,以这种方式计算预测值特别容易:预期值是$f'(1)$,并且项目规则也分享了预期值是加性的现实。 以类似的方式,差异是$f''(1) + f'(1) - f'(1)^2$。

我实际上并没有认识到仔细审查这些问题的领域,但实例中一个令人惊叹的家庭成员是计算预期值以及特定排列数据的差异。 作为一个例子,我们打算计算$n$组件的排列所处理的因素的预期变化。 通过Burnside的引理,解决方案是$1$。 然而,进行此计算的另一种方法是构造多项式的族成员

$\displaystyle P_n(x) = \frac{1}{n!} \sum_{\pi \in S_n} x^{c_1(\pi)}$

其中$c_1(\pi)$是处理因素的多样性。 之后我们想要的数字是$P_n'(1)$。 最终我们可以在同一时间计算所有这些数字,因为双变量获取函数是

$\displaystyle P(x, y) = \sum_{n \ge 0} P_n(x) y^n = \frac{1}{1 - y} \exp \left( xy - y \right).$

然后我们想要的数字的家族成员是$\frac{\partial}{\partial x} P(x, y)$,在$x = 1$中进行了审核,其中(因为它不难确认)是$\frac{1}{1 - y}$。 实际上这也适用于第二副产品以及所有更大的副产品; 具体而言,处理因子的多样性的差异另外是$1$。

如果我们需要知道预期的数量以及声称的各种周期的变化,会发生什么? 目前我们打算考虑多项式的族成员

$\displaystyle Q_n(x) = \frac{1}{n!} \sum_{\pi \in S_n} x^{c(\pi)}$

其中$c(\pi)$是完整的各种循环。 之后我们想要的数字是$Q_n'(1)$。 目前它最终是双变量获取功能

$\displaystyle Q(x, y) = \sum_{n \ge 0} Q_n(x) y^n = \frac{1}{(1 - y)^x}$

(需要采取$\exp \left( x \log \frac{1}{1 - y} \right)$)。 目前,在$x = 1$处审核的部分获取的$\frac{\partial}{\partial x} Q(x, y)$

$\displaystyle \frac{1}{1 - y} \log \frac{1}{1 - y} = \sum_{n \ge 1} H_n y^n$

其中$H_n$是$n^{th}$谐波数。 因此,$n$组件的排列的预期多种周期与$\log n$有关。 (事实上​​,最终大小为$r$的预期变化周期是$\frac{1}{r}$,这个结果很快就会遵循。)在$x = 1$审查的第二部分获得的是

$\displaystyle \frac{1}{1 - y} \log^2 \frac{1}{1 - y} = \sum_{n \ge 1} G_n y^n$

其中$\displaystyle G_n = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} H_{n-k}$; 我不完全确定这个系列的渐近发展,然而,无论它是什么,完整的各种循环的差异是$G_n + H_n - H_n^2$。 (在任何类型的实例$G_n \le H_n^2$中,所以差异远小于或等于$H_n$,并且这也可能是渐近适当的。)可以推断这些类型的渐近系列利用Flajolet中的方法以及Sedgewick的分析组合学,这是我用这种方式创建功能的更多实例的理想预感。 可能存在与树木数据有关的实例。

我使用的所有创建函数标识都使用了快速公式的问题,其中一个变体得到了确认,并且还查看了在这篇博文中

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2019-05-08 09:36:43
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