从单位环到没有零因数的环的同态保持统一?

我在亨格福德的一个问题上遇到了一点麻烦是代数令人担忧的环同态。

允许 $f\colon R\to S$ 是环的同态,使得 $f(r)\neq 0$ 代表一些非零 $r\in R$。 如果 $R$ 有一个标识并且 $S$ 没有绝对没有除数,那么 $S$ 是一个标识为 $f(1_R)$ 的环。

我进行了一些争论。 取 $r$ 如题,所以 $$ f(r)=f(1_R)f(r)=f(r)f(1_R)\implies f(r)-f(1_R)f(r)=0_S. $$ 这说明 $f(1_R)$ 是 $f(R)$ 的标识,但不确定是不是用的太多。 但是,如果 $1_S$ 存在,那么在 $f(r)-f(1_R)f(r)=1_Sf(r)-f(1_R)f(r)=0_S$ 以及分配规则之后,我肯定会有 $$ \bigl(1_S-f(1_R)\bigr)f(r)=0_S\implies 1_S=f(1_R) $$,因为 $S$ 没有绝对没有除数,还有 $f(r)\neq 0_S$。 但是,我看不到证明 $1_S$ 存在的方法,所以如果没有问题,我希望得到有关如何证明这一点的提示,或者如果我偏离轨道,可能会在理想的说明中得到启发。 谢谢。

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2022-06-07 14:36:19
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答案: 3

由于解决方案对我来说不是很明显,我只是打算发布一个解决方案以确保该问题有一个完整的解决方案。

把它放在一起,$f(1_R)s=f(1_R)^2s\implies f(1_R)[s-f(1_R)s]=0_S$。 然而 $f(1_R)\neq 0$ 给出了 $f(1_R)f(r)=f(r)\neq 0$,所以 $s=f(1_R)s$ 因为 $S$ 没有零除数。 由于 $sf(1_R)=sf(1_R)^2$ 也是如此,完全相同的参数揭示了 $s=sf(1_R)$,所以 $f(1_R)=1_S$。

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2022-06-07 16:25:33
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考虑 $x \in S$ 以及考虑 $$x \cdot \Bigl[ f(1_{R}) - f(1_{R})^{2}\Bigr]$$

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2022-06-07 15:00:36
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提示:如果 $s$ 保留在 $S$ 中,则 $f(1_R)s=f(1_R)^2s$。


我根据您的关注结束时的需求留下了上面的简短提示,不想“放弃过多”,现在我很乐意详细说明一下。

您想表明 $f(1_R)$ 是 $S$ 的标识。 正如您在评论中讨论的那样,$f$ 是 $f(1_R)=f(1_R)^2$ 的同态。 您还认识到 $f(1_R)\neq 0$,因为 $f(1_R)f(r)=f(r)\neq 0$,因此希望在上一句的等式中“取消”$f(1_R)$ 以获得 $1_S=f(1_R)$。 当然,我们仍然需要证明 $1_S$ 存在。 为了终止 $f(1_R)$,我们需要将它乘以某个值,这也激发了等式两边增加一些 $s\in S$ 以获得该解决方案之上的公式。 现在你可以做一些取消。

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2022-06-07 15:00:22
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