证明随机矩阵的最大特征值为 $1$

随机矩阵(即访问声明且行数为$1$ 的矩阵)的最大特征值为$1$。

维基百科将此标记为 Perron-Frobenius 定理 的祖父子句,但我质疑是否有更简单(更直接)的方法来显示此结果。

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2022-06-07 14:36:55
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答案: 2

$A$ 是一个 $n \times n$ 行随机矩阵。 目前: $$A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^n a_{1i} \\ \sum_{i=1}^n a_{2i} \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^n a_{ni} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} $$ 因此特征值 $1$ 被收购。

为了证明这是最大的特征值,您可以使用 格什戈林圆定理。 采取行 $k$ $A$ . 有角度的组件肯定是 $a_{kk}$ 而且半径肯定是 $\sum_{i\neq k} |a_{ki}| = \sum_{i \neq k} a_{ki}$ 考虑到所有 $a_{ki} \geq 0$ . 这将是一个圆圈,其设施位于 $a_{kk} \in [0,1]$ ,并且距离为 $\sum_{i \neq k} a_{ki} = 1-a_{kk}$ . 所以这个圈子肯定会有 $1$ 在它的周边。 对于该矩阵的所有 Gershgorin 圆都是如此(假设 $k$ 被随意拍了)。 因此,鉴于所有特征值都取决于 Gershgorin 圆的并集,所有特征值 $\lambda_i$ 满足 $|\lambda_i| \leq 1$ .

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2022-06-07 15:01:12
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这是一个非常基本的证明(它是对 凡凡对我的一个问题的回答 的小改动)。 在 Calle 程序中,很容易看出特征值 $1$ 得到了。 现在,假设某些 $\lambda > 1$ 为 $Ax = \lambda x$。 由于 $A$ 的行数为非负数,数量为 $1$,向量 $Ax$ 的每个分量都是 $x$ 的元素的凸组合,不能高于 $x$ 的最大元素 $x_{max}$。 另一方面,$\lambda x$ 中至少有一个元素高于 $x_{max}$,这证明 $\lambda > 1$ 是困难的。

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2022-06-07 14:55:52
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