试图找出这个工作/集成问题的数字来自哪里

有一个圆形容器推动其侧面完全充满液体。 容器的直径为 4 英尺,储罐的长度为 10 英尺。

这是一个可怕的例子,但足够接近:

我需要设置一个重要的位置来定位需要将所有液体泵送到容器顶部上方 1 英尺处的工作。

所以我有我的公式:

功 = π(重量厚度)∫(面积)(位移)(密度)

其他人做了这个问题,也获得了 2 到 - 2 的边界、(3 - y) 的变化、2x 的位置以及 dy 的密度。 2 到 - 2、(3 - y) 和 2x 是从哪里来的? 这可能很直观,但我看不到。

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2022-06-07 14:37:06
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答案: 1

($\pi$ 是从哪里来的?)

直接看容器,这样你就只能看到圆形的一面。 想象一下飞机上的那个圆圈,中心在 $(0,0)$。 鉴于圆的大小为 $4$,圆的底部为 $(0,-2)$,圆的顶部为 $(0,2)$。 您打算将液体提升到水箱顶部上方一英尺处,因此您试图将其提升到线 $y=3$。

现在,在高度 $y_i$ 处取厚度为 $\Delta y$ 的圆的直线,其中 $y_i$ 介于 $-2$ 和 $2$ 之间。 该切片对应的液体体积大约等于该切片的位置乘以 $10$(表示容器的大小)。

要定位该位置,请注意圆具有方程 $x^2+y^2 = 4$,以确保 $x$ 坐标由 $x=\pm\sqrt{4-y^2}$ 提供。 所以切片的大小将是 $2x=2\sqrt{4-(y_i)^2}$。 密度为 $\Delta y$。 所以液体平板的数量大约相当于 $$20\sqrt{4 - y_i^2}\Delta y\text{ cubic feet.}$$ 现在,您希望将其全部提升到 $y=3$ ; 你到底从 $y=3$ 赚了多少钱? 鉴于这幅作品的高度为 $y_i$,到 $y=3$ 的范围是 $3-y_i$。

因此,在提高这一片流体时执行的工作大约是:$$\begin{align*} \text{Work}&=\text{Weight}\times\text{Displacement}\\ &= \left(\text{Volume}\times\text{Density}\right)\times\text{Displacement}\\ &\approx \left(20\sqrt{4-y_i^2}\Delta y\right)\times\text{Density}\times(3-y_i)\\ &= \text{Density}\times 20(3-y_i)\sqrt{4-y_i^2}\Delta y. \end{align*}$$(确保设备正确;密度应该以磅/立方英尺为单位,在这种情况下,工作系统将为 ft - 磅。)

目前,要完成全部工作,您将坦克切成这些细长的切片,找出每个的工作,然后将所有内容相加: $$\text{Work}\approx \sum_{i=1}^n \text{Density}\times 20(3-y_i)\sqrt{4-y_i^2}\Delta y.$$ 将限制设为 $n\to\infty$,这是必不可少的。 被积函数是 $$\text{Density}\times 20(3-y)\sqrt{4-y^2}\,dy.$$($\sqrt{4-y^2}$ 是 $x$ 的值)。

同化的界限是什么? 回到图片,$y$ 的可能值是多少? 因为 $y$ 代表你留在储罐中的位置,并且容器从 $y=-2$ 扩展到 $y=2$,所以组合的限制从 $-2$ 到 $2$。

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2022-06-07 15:07:54
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