随机游走的击中时间,其中步长概率线性取决于到吸收墙的距离

考虑这样一种情况,我在间隔 $[0, M]$ 上对整数进行了明显的随机游走,我从某个位置 $0 < k < M$ 开始,并且两个端点(即 $0$ 和 $M$)都完全吸收了。 对于这个或其他基本随机游走问题,需要注意的是,迈出一步的概率取决于步行者之间的范围以及进入的边界。 让 $x_i$ 代表 walker 的设置,我们有 $P[+1] = \frac{x_i}{M}$ 和 $P[-1] = 1 - P[+1]$。

换句话说,步行者采取 $+1$ 动作的概率等于在区间 $[1, M]$ 上以一致的概率从整数品尝的概率,并选择一个整数 $j$ 使得 $j \leq x_i$。

我们能否说明行人到达吸收目标 $M$ 的概率?

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2022-06-07 14:37:42
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答案: 1

正常方式:对于从 $x$ 开始的随机游走,在 $0$ 之前到达 $M$ 的概率写为 $u(x)$,并注意 $(u(x))_{0\leqslant x\leqslant M}$ 是直线系统 $u(0)=0$、$u(M)=1$ 的唯一选项,并且,对于每个 $1\leqslant x\leqslant M-1$, $$ Mu(x)=xu(x+1)+(M-x)u(x-1). $$ 因此,对于每个 $0\leqslant x\leqslant M$, $$ u(x)=\frac1{2^{M-1}}\sum_{k=0}^{x-1}{M-1\choose k}. $$

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2022-06-07 15:02:12
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