如何证明 $\lim\limits_{x \to 0 }\;x^{-a}e^{\frac{-1}{x^{2}}} =0$ 对于所有一个?

我当然希望得到您的帮助:

我尝试使用 L'Hôpital is Rule 以及各种数学来显示每个 $a$ 的 $$\lim_{x \to 0 }\left(x^{-a}e^{\left(\frac{-1}{x^{2}}\right)}\right) = 0$$,而且它确实不起作用。

($a=0$ 是次要的)

有什么提示吗?

谢谢。

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2022-06-07 14:37:53
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答案: 3

暗示 $\ $ 取 $\rm\:log\:,\:$ 放置的 $\rm\: z = 1/x\:$ 以将其减少到 $\rm\: z^2/\:log(z)\to \infty\:$ 作为 L'Hôpital 的 $\rm\: z\to\infty\:,\:$。

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2022-06-07 15:05:11
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尝试设置 $x = y^{-1}$。 在那之后它应该很容易。 如果您需要更多帮助,请询问。

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2022-06-07 15:04:52
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实际上,如果 $a$ 被启用为任意实数,那么您期望的这个结果是错误的(但它只会因愚蠢的因素而失败)。 如果 $a = -\frac{1}{2}$,例如,之后

$$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{1}{x^2}}} $$

不存在。

如果一个被限制为 $a$ 的整数值,则结果与以前一样。 此外,所有 $a$ 始终存在限制 $\displaystyle \lim_{x \to 0} |x|^{-a} e^{- \frac{1}{x^2}}$。

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2022-06-07 14:53:59
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