一个关于逻辑的问题——直觉可能失败的地方

假设我有 2 个谓词 $P(x)$ 和 $Q(x)$,这样 $\overline{P(x)\wedge Q(x)}$ 就适用于所有 $x$。

目前,如果 $\displaystyle \bigwedge_{x\in A}P(x)$ 为一组 $A$,那应该是绝对真实的,即 $\displaystyle \overline{\bigwedge_{x\in A}Q(x)}$ 凭直觉。 然而,假设 $A = \{\;\;\}$,之后无疑是 $\displaystyle \bigwedge_{x\in A}P(x)$ 和 $\displaystyle\bigwedge_{x\in A}Q(x)$。

我的错误在哪里? 我认为这是假设 $$\bigwedge_x\overline{P(x)\wedge Q(x)} \rightarrow \left(\bigwedge_{x\in A}P(x) \rightarrow \overline{\bigwedge_{x\in A}Q(x)}\right)?$$

¢ *注:$\displaystyle \overline{P(x)\wedge Q(x)} \equiv \lnot(P(x)\land Q(x))$¢ $\displaystyle \quad\quad\quad\quad \overline{\bigwedge_{x\in A}Q(x)} \equiv \lnot \left(\bigwedge_{x\in A}Q(x)\right)$

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2022-06-07 14:38:00
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答案: 3

给你 $\forall x \lnot(P(x)\land Q(x))$,它与 $\forall x \ \lnot P(x) \lor \lnot Q(x)$ 重合。 之后,您将获得 $\forall x \in A\ P(x)$。 最好你可以推导出 $\forall x \in A \lnot Q(x)$。 如果 $A$ 是空的,那么 $\forall x \in A \ Q(x)$ 也是真实的(没有前面的)。 然而,对于空的 $A$,这并不矛盾,因为它扩大到 $\forall x (x \in A) \implies Q(x)$,因为前件总是假的,所以效果总是真的。

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2022-06-07 15:10:35
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您的直觉基于具有一些非平凡维度的集合 $A$。 然而,正如您所注意到的,如果 $A$ 是空的,那么直觉是错误的。

你只需要稍微改变一下你的直觉。 如果 $P$ 对所有 $x \in A$ 成立,那么我们知道 $Q$ 不能对任何类型的 $x \in A$ 成立。 即 $\bigwedge_{x\in A} \lnot Q(x)$。

错误的直觉仍然存在于改变 $ bkslshbigwedge _ xbkslshin A bkslshlnot Q (x) bkslsh bkslsh bkslsh bkslshrightarrow bkslsh bkslsh bkslsh bkslshlnot bkslshbigwedge _ xbkslshin AQ (x) $。 此操作仅在 $A$ 非空时才是正确的,但在那之后它也是一个弱步骤(对于巨大的 $A$,左侧是一个可靠的陈述,而右侧是相当弱的),所以你肯定会做理想的忘记这种转变 bdsh 尝试从你的本能武器库中消除它!

正确的转换肯定是 De Morgan 的转换: $ bkslshbigwedge _ xbkslshin A bkslshlnot Q (x) bkslsh bkslsh bkslsh bkslshrightarrow bkslsh bkslsh bkslsh bkslshlnot bkslshbigvee _ xbkslshin AQ (x) $。

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2022-06-07 15:10:32
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当我的 TA 实际上有一个涵盖类似主题的培训课程时,我们特别需要框架是非空的。

这是为了防止您在询问中提到的极端问题。

实际上,如果您要求结构具有非空世界,那么您所做的假设是非常正确的。 让我们快速证明一下:

假设对于所有 $x\in A$,我们有 $\overline{P(x)\land Q(x)}$,并且对于所有 $x\in A,\ P(x)$ 都成立。

让 $x$ 是 $A$ 的近似方面,然后 $\overline{P(x)\land Q(x)}$ 由 DeMorgan 计算为 $\overline{P(x)}\lor\overline{Q(x)}$。 我们假设 $P(x)$ 也是正确的,因此它应该是 $\overline{Q(x)}$。

鉴于这个 $x$ 是近似的,它适用于所有 $x\in A$,即 $\bigwedge_{x\in A}\overline{Q(x)}$

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2022-06-07 15:08:37
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