在二面角群的中心

在我最近阅读的一个证据中,使用了对“现实”的坚持,其中 $D_{2n}$ 代表 $2n$ 阶的二面体团队:

如果 $n$ 也是,那么 $D_{2n} \cong C_2 \times D_n$。

(短)给定的理由是中心 $Z(D_{2n}) \cong C_2$,只要 $n$ 是偶数,并且如果 $n$ 是奇数,也是次要的。

尽管如此,下面是我的一位密友在反对前一个的文献中发现的一个结果。

打算 4 除以 $n$。 那么 $D_{2n}$ 不与 $C_2 \times D_n$ 同构。

证明: 假设否则。 我们知道 $Z(D_{2n}) \cong C_2$。 通过假设,$D_{2n} \cong C_2 \times D_n$,因此 $Z(D_{2n}) \cong Z(C_2 \times D_{n})$。 由于在直积 $A \times B$ 中,组 $A$ 和 $B$ 通勤,我们得到 $Z(C_2 \times D_{n}) = Z(C_2) \times Z(D_n) \cong C_2 \times C_2$,一个矛盾,QED

现在来了我的第一关 : 上面的证明解决了吗?

第二个问题 : 给定一个中心不是次要的有限团队 $G$,它是否一直存在一个团队 $H$ 使得 $G \cong Z(G) \times H$?

如果是这样,那么在给 $n$ 提供 4 的倍数之后,二面体群 $D_{2n}$ 可以组成一个直积 $C_2 \times H$。 我的来了第三个问题 : $H$ 应该是什么,因为我们知道它不能有非平凡的中心(以及,特别是考虑到 $H$ 不能是 $D_n$)?

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2022-06-07 14:38:22
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答案: 3

我喜欢你的担忧。

  1. 是的,而且它非常愚蠢。

  2. 不,比如8阶四元组就不是这样的。

  3. (所以,没有这样的 H)。

需要明确的是,8k+4 阶的二面体群与 4k+2 阶二面体群的 2 阶循环群的直项同构,但所有其他二面体群都是“直接不可分解的”,即它们没有衰减作为 2 个非同一组的直接项。

在您希望验证更强的不可分解性的情况下:基本上,您检查典型的子组。 考虑到二面角组的阶数至少为 6,它们都包含在旋转子组中,因此您可以获得直接乘积的唯一方法是该子组的旋转顺序为 4k+2,因此其 Sylow 2 -子组通过翻转系统化。

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2022-06-07 15:06:53
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问题 1。 证据是原始断言(对于 $n$,即使你有 $D_{2n}\cong C_2\times D_n$)是不正确的正确证据。 毫无疑问,你可以简单地用 $n=4$ 来做: $D_4$ 是阿贝尔,克莱因 $4$ - 群; $D_8$ 不是阿贝尔,而 $C_2 \times D_4$ 是阿贝尔,所以 $D_8$ 不能与 $C_2\times D_4$ 同构。 关于 $D_{2n}$ 的断言不正确。

查询 2。 不,这通常不是真的。 取一个 $p^3$ 阶的非阿贝尔群; 在 $Z(G)\cong C_p$ 之后。 如果你有 $G\cong Z(G)\times H$,那么 $H$ 将是 $p^2$ 阶,因此是 abelian,所以 $G$ 将是 abelian(两个 abelian 群的乘积)。

关注3。 没有实际意义。

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2022-06-07 15:06:28
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关于断言的评论(第一个问题)。

“当 n 也在 $D_{2n}\cong C_2 \times D_{n}$ 之后” .

这似乎不是真的 :考虑一类特殊的二面体群,特别是 $2-$groups,即 $2^n$ 阶的二面体群,与 $n\geq 3$。 这些是非阿贝尔 $2-$ 组。 正如您所声称的,他们的设施是非次要的(应该是;对于任何 p 团队都是如此); $2^n$ 阶的二面角团队 $D_{2^n}$ 的设施是 $C_2$。

但是根据 Sylow 的概念,它必须与 $D_{2^n}$ 的每个正常子群非平凡地相交,因此必须由该典型子群组成(因为中心具有 2 阶); 特别是该中心必须由 $D_{2^n}$ 的每个最高子群 ,特别是出于这个原因,它应该包含在与 $D_{2^{n-1}}$ 同构的子群中。

因此,$D_{2^n}$ 不能是 $D_{2^{n-1}}$ 的 $C_2$ 的(内部)半直接项。 ; 因此特别是它可以是 $D_{2^{n-1}}$ 的 $C_2$ 的直接项目。

[可以提供另一个简单的论点:如果对于 $n$ 偶数,$D_{2n}\cong C_2 \times D_{n}$,那么特别是我们必须有(通过归纳)

$D_{2^n} \cong C_2 \times D_{2^{n-1}} \cong C_2 \times (C_2 \times D_{2^{n-2}})\cong \cdots \cong C_2 \times C_2 \times \cdots \times D_4$,这是初级阿贝尔 $2$ - 组,反对。

目前对第二次和第三次查询给出了非常简单的答案,所以没有什么可以添加的了。 ]

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2022-06-07 14:51:32
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