显示均匀的连续性

我一直试图在实际期间 $[a,b]$ 上显示一个函数 $f$

$$ f(x)=f(a)+\int_a^xf'(s)\,ds\qquad\text{($f'$ defined almost everywhere)} $$

一定是始终如一在 $[a,b]$ 上连续。

鉴于问题等同于绝对连接,我认识到我可以使用完全连续性的证据来证明我需要什么——从其基本定义来看——意味着一致的连续性:我已经看到了这一点的证明。 尽管如此,我希望在展示上述内容的同时,又不涉及另一种连续性。

我明白 - 因为我所说的同样等于现有的任何代替 $f'$ 的可积函数 - 证明不需要包括衍生品的住宅属性。 然而,在建立界限时,我得到的只是

$$ \left|f(y)-f(x)\right|=\left|\int_x^yf'(s)ds\right|\leq\int_x^y\left|f'(s)\right|\,ds $$

证明可积的第一个副产品(或实际上任何类型的可积函数)在 sup 范数中有界是否可行?

向你说声谢谢。¢ Marko

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2022-06-07 14:38:27
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答案: 2

我们认为$\|f'\|_{L^1} = \int_{a}^{b} |f'|\,dt \lt \infty$。 允许 $A_{n} = \{x \,:\,|f'(x)| \leq n\}$。 放入$g_{n} = [A_{n}] f'$,其中$[A_n]$代表$A_n$的特定函数。 在那之后,我们几乎得到了 $g_{n} \to f'$,正如 Nate 在他的评论中指出的那样,主导收敛意味着 $\int_{a}^{b} |g_n - f'|\,dt \to 0$ 为 $n \to \infty$(被积函数由可积函数 $2|f'|$ 界定)。

目前,提供 $\varepsilon \gt 0$,选择 $n$ 大到 $\int_{a}^{b} |g_n - f'|\,dt \lt \varepsilon /2$。 由于 $|g_{n}|$ 以 $n$ 为界,所以我们有 $|\int_{x}^{y} g_{n}(t)\,dt| \leq n|y-x|$。 因此,$$\left\vert \int_{x}^{y} f'(t)\,dt\right\vert \leq \left\vert\int_{x}^{y} |f'-g_n|\,dt\right\vert + \left\vert \int_{y}^{x} |g_n(t)|\,dt\right\vert \leq \varepsilon/2 + n \cdot |y-x|$$ 和 $\delta = \frac{\varepsilon}{2n}$ 我们得到所有 $x,y$ 和 $|y-x| \lt \delta$ 的 $$|f(y) - f(x)| = \left\vert \int_{x}^{y} f'(t)\,dt \right\vert \leq \varepsilon/2 + \delta n \lt \varepsilon$$ 是 $f$ 的统一连接的极端定义。

实际上,对于 $\mu(E) \lt \delta$ 我们有 $\int_{E} |f'|\,dt \lt \varepsilon$,我们得到了更基本的报价。 但这完全是 $f$ 的连续性。

可积的一阶导数在上范数中有界当然是不正确的。 例如,对于 $f(x) = \sqrt{x}$,我们有 $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$,它在 $[0,1]$ 上是无界但可积的。

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2022-06-07 15:03:31
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正如您所指出的, $f$ 绝对是连续的,并且显示这一点并不比直接显示一致的连续性更难。

如果 $g$ 是可积的并且提供了 $\varepsilon>0$,则存在 $\delta>0$ 使得 $m(A)<\delta$ 建议 $\int_A|g|<\varepsilon$。 要看到这一点,例如,您可以首先取 $h$ 以 $M>0$ 为界,这样 $\int_a^b|g-h|<\frac{\varepsilon}{2}$,然后取 $\delta = \frac{\varepsilon}{2M}$。

当你有这个时,只要 $|x-y|<\delta$,你就有 $|\int_x^y g|<\varepsilon$。 正如所讨论的,这揭示了绝对的连续性。 $f'$ 的有界性意味着 Lipschitz 连续性的更强大条件。

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2022-06-07 14:55:25
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