有限域的原始多项式

我可以使用两个原始多项式来构造 $GF(2^3)=GF(8)$:

$p_1(x) = x^3+x+1$

$p_2(x) = x^3+x^2+1$

$GF(8)$ 使用 $p_1(x)$ 开发:

0

1

$\alpha$

$\alpha^2$

$\alpha^3 = \alpha + 1$

$\alpha^4 = \alpha^3 \cdot \alpha=(\alpha+1) \cdot \alpha=\alpha^2+\alpha$

$\alpha^5 = \alpha^4 \cdot \alpha = (\alpha^2+\alpha) \cdot \alpha=\alpha^3 + \alpha^2 = \alpha^2 + \alpha + 1$

$\alpha^6 = \alpha^5 \cdot \alpha=(\alpha^2+\alpha+1) \cdot \alpha=\alpha^3+\alpha^2+\alpha=\alpha+1+\alpha^2+\alpha=\alpha^2+1$

$GF(8)$ 由 $p_2(x)$ 生成:

0

1

$\alpha$

$\alpha^2$

$\alpha^3=\alpha^2+1$

$\alpha^4=\alpha \cdot \alpha^3=\alpha \cdot (\alpha^2+1)=\alpha^3+\alpha=\alpha^2+\alpha+1$

$\alpha^5=\alpha \cdot \alpha^4=\alpha \cdot(\alpha^2+\alpha+1) \cdot \alpha=\alpha^3+\alpha^2+\alpha=\alpha^2+1+\alpha^2+\alpha=\alpha+1$

$\alpha^6=\alpha \cdot (\alpha+1)=\alpha^2+\alpha$

所以目前允许的状态是我希望在这两个区域中添加 $\alpha^2 + \alpha^3$ 。 在字段 1 中,我得到 $\alpha^2 + \alpha + 1$,在区域 2 中,我得到 $1$。 乘法在两个区域中是相同的($\alpha^i \cdot \alpha^j = \alpha^{i+j\bmod(q-1)}$。所以它的工作原理是这样的,当一些 $GF(q)$ 用各种原始多项式构建之后,加法表会有所不同并且再现表将是相同的?或者可能在提供的多项式($p_1(x), p_2(x)$)之间不是建造区域是否合法(尽管两者都是原始的)?

4
2022-06-07 14:38:36
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答案: 3

您所在地区的第一个描述的生成器 $\alpha$ 不能等于您所在地区的第二个摘要的生成器 $\beta$。 通过取 $\alpha \mapsto \beta + 1$ 给出 $\mathbb{F}_2(\alpha)$ 和 $\mathbb{F}_2(\beta)$ 之间的同构; 如果 $\beta$ 满足 $p_2$,您可以检查 $\beta + 1$ 是否满足 $p_1$。

6
2022-06-07 15:08:50
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为了更直接地解决提出的问题:

  1. 是的,通常使用各种原始多项式肯定会改变操作。 如果有人使用诸如 α 一世为了描述字段方面(例如在 GAP 和 Magma 中所做的),则乘法表保持不变,而增强表也发生了变化。 尽管如此,如果有人使用类似的表达方式 α 2 + α +1(例如在 Macaulay2 和 Maple 中所做的),之后添加表保持不变,并且复制表也进行了修改。 Zech 对数被用来在两个表示之间成功转换。

  2. 你的两个多项式 p 1 p 2 非常好。 这在 Charles Staats 中得到了证明是答案。

5
2022-06-07 15:08:25
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在更简单的上下文中,情况并没有那么多样化,即​​ 5 个元素的区域,也称为模 5 的整数。无论 $\alpha$ 是 $2$ 还是 $3$,该字段是 $0,1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3$,但 $\alpha+\alpha+1=0$ 是否取决于您选择的 $\alpha$。

3
2022-06-07 14:54:55
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