$E$ 的所有子集的基数与 $E$ 等效

我试图展示符合声明(Bourbaki 的锻炼是集合论 ):

如果 $E$ 是无限集,则与 $E$ 等势的 $E$ 子集的集合与 $\mathfrak{P}(E)$ 等势。

作为提示,这里引用了一个指导命题,内容如下:

每个无限集 $X$ 都有一个由可数无限集合创建的划分 $(X_\iota)_{\iota\in I}$,索引集 $I$ 与 $X$ 等价。

我不知道该建议有何帮助。

如果 $E$ 是可数的,则 $E$ 的一个子集与 $E$ 等价,只要它是无限的。 然而 $E$ 的所有有限子集的集合与 $E$ 等价。 所以它在 $\mathfrak{P}(E)$ 中的增强必须与康托尔定理的 $\mathfrak{P}(E)$ 等价。 因此,如果 $E$ 是可数的,则该陈述为真。 可悲的是,我没有看到将这个论点推广到不可数 $E$ 的方法。

我当然会很高兴得到一点提示让我继续前进。

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2022-06-07 14:38:38
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答案: 2

使用选择公理,每个无限集 $X$ 都可以拆分为两个不相交的集 $X_0\sqcup X_1$,它们都与 $X$ 等量。 (很好 - 订购 $X$,并在枚举中获取所有其他点。)

现在,考虑为任何类型的 $A\subset X_1$ 准备 $X_0\cup A$ 形式。 有 $2^X$ 批这样的 $A$,因此有 $2^X$ 批这样的集合,而且每个都与初始集合 $X$ 等量。 所以我们有 $2^X$ 多个集合作为首选,也不能超过这个,所以这是精确的数字。

顺便说一句,对这个调查的上述回应实际上取决于选择公理,因为它被理解为与 $ZF+\neg AC$ 有规律地存在无限的 Dedekind 有限集合,并且这些集合与它们自身的任何类型的正确子集都不是等量的. 所以对于这样一个无限的集合 $X$,肯定只有一个子集是等量的。

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2022-06-07 15:08:05
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另一种方法将利用 $\kappa_1 + \kappa_2 = \max(\kappa_1,\kappa_2)$ 当 $\kappa_1,\kappa_2$ 是基数时,至少其中一个是无限的这一现实。 由此可见,对于 $S \subset X$ 的任何子集,$S$ 或其补码具有基数 $|X|$。 鉴于更简单的基数算术表明存在与 $X$ 的部分一样多的互补子集对,我们得到结果。

顺便说一句,JDH 技术可能允许您展示(稍微)更强大的声明,即有 $2^X$ 集 $S \subset X$ 与两个都 $S$ 和 $X - S$ 与 $X$ 等效。 只需将 $X$ 写为不相交的联合 $X = X_0 \cup X_1 \cup X_2$,所有部分都与 $X$ 等价,并考虑 $X_0 \cup A$ 类型的子集,其中 $A \subset X_1$。

一个有趣的遵从-up 问题可能是看你是否可以产生 $2^X$ 集 $S \subset X$ 以确保 $|S|=|X|$ 和 $|X-S| < |X|$。

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2022-06-07 14:54:59
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