一般来说,Mayer-Vietoris 序列有多无用?

在我正在参加的代数拓扑课程中,我们通常被要求使用 Mayer - Vietoris 级数计算区域 $X = A \cup B$ 的同调组,并且它发生在我迄今为止看到的所有实例中,这是可行的在不知道任何关于链接同态 $\partial_{\ast}$ 的情况下执行此操作(关于链级别的声明); 我们只需要 $H_{\ast}(A), H_{\ast}(B), H_{\ast}(A \cap B)$ 以及可能的一些包含图。

我的假设是这不是正常情况; 存在一个相当简单的美妙房间 $X$ 的实例以及很大的子空间 $A, B$ 使得知道 $H_{\ast}(A), H_{\ast}(B), H_{\ast}(A \cap B)$ 不足以在不知道附加同态的详细形式的情况下计算 $H_{\ast}(X)$? (对于程序 $X, A, B, A \cap B$ 的最佳重要性应该是有限单纯设施。)

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2022-06-07 14:39:05
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答案: 2

给定一个长的特定系列

$$ \cdots \to C_{i+1} \to A_i \to B_i \to C_i \to A_{i-1} \to \cdots $$

让地图 $A_i \to B_i$ 表示为 $f_i$。 之后你有 $C_i$ 是一个扩展

$$ 0 \to coker(f_i) \to C_i \to ker(f_{i-1}) \to 0$$

所以直到那个扩展问题,地图 $f_i$ 总是决定 $C_i$ 队。 因此,如果您想要组 $C_i$ 不确定的情况,您可能有 $ker(f_{i-1}) = \mathbb Z_2$ 和 $coker(f_i) = \mathbb Z$,通过这样做,$C_i$ 可以是 $\mathbb Z$ 或 $\mathbb Z \oplus \mathbb Z_2$。

无论如何,链接映射 $\partial_i : C_i \to A_{i-1}$ 是由这种扩展问题确定的,并且也很容易制作实例 - 方法。

所以我对你询问的性质有点困惑。 我想我要说的是你在正常情况下,Grigory 是示例同样是正常的,因为包含映射使得他的示例之间存在差异。

关于 MVS 对正常故障到底有多大用/无用,它真正取决于您的区域作为您理解的区域的联合(以及它们的连接点)的表达速度有多快。 如果您所在的地区不适合该配置文件,那么您可能有很多工作要做。 Fibration 的 Serre 谱序列在某种意义上仍然是增强的 Mayer - Vietoris 系列,还有很多论文,个人喜欢计算 $E_3$ - 网页,或确定 SS 在哪个页面上分解,或计算微分。 这些外延问题往往比较棘手,而且涉及的文学作品较多。

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2022-06-07 15:05:38
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当然,只知道 $H(A)$、$H(B)$ 和 $H(A\cap B)$ 是不够的。 例如,取 $A=B=S^1\times D^2$ 并用 $S^1\times S^1=A\cap B$ 粘合它们可以得到 $X_1=S^2\times S^1$ 或 $X_2=S^3$。 这提供了具有相同 $H(A)$、$H(B)$ 和 $H(A\cap B)$ 但 H (X) 不同的 2 Mayer - Vietoris 系列。

至于其他人了解包含图的情况,请参阅 Ryan Budney 出色的 回答

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2022-06-07 15:05:02
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