阿贝尔化的性质

这与没有得到有效回答的 老MO问题 相关,尽管我觉得我没有以最好的方法表达关注(或将其发布在适当的网站上)

将团队 $G$ 的阿贝尔化定义为商组 $G_{ab} := G/[G,G]$,其中 $[G,G]$ 是 换向子群。 我想知道这个定义是如何暗示阿贝尔化的以下性质的。

设 $\phi: G \to G_{ab}$ 为已批准的外投。 对于任何一种阿贝尔群 $H$ 以及同态 $f:G\to H$,都存在一个特殊的同态 $F: G_{ab} \to H$,使得 $f = F\circ \phi$。

这是我在初步信息中描述得如此糟糕的“下降到同态”的能力,但当时它是我听到的唯一使用的术语。

我知道这两种解释是相等的,但实际上我还没有看到证明,也没有自己处理过验证。 如果您认识一个,请务必指出我在互联网上的证明。

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2022-06-07 14:39:23
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答案: 2

如果 $f : G \to H$ 是阿贝尔团队的同态,则为 $f(ab) = f(a) f(b) = f(b) f(a) = f(ba)$,因此为 $[a, b] \in \ker f$,因此为 $[G, G] \subseteq \ker f$。 其余的从下面清楚吗?

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2022-06-07 15:07:58
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这适用于任何种类的各种其他情况:例如,如果 $G$ 是一个组,而 $n\gt 0$ 是一个有利的整数,则允许 $N$ 是由 $g^n$ 和 $g\in G$ 类型的所有组件创建的 $G$ 的子组。 之后 $G/N$ 具有指数 $n$,并且如果 $\pi\colon G\to G/N$ 是规范满射,那么对于指数 $n$ 的任何类型的组 $H$ 以及任何团队同态 $f\colon G\to H$,都存在一个独特的同态 $F\colon G/N \to H$,例如 $f=F\circ \pi$。

对于基本上下文:

定义。 设 $F_{\infty}$ 为可数无限秩的自由群,并允许 $w\in F_{\infty}$。 我们说 $w$ 是 $G$ 的标识如果且仅当对于每个团队同态 $f\colon F_{\infty}\to G$,我们有 $f(w)=1$。 等价地,每次检查 $G$ 中的 $w$ 都是标识。

定义。 让 $S\subseteq F_{\infty}$. 这 $S$ 建立的各种组是所有组 $G$ 的集合,其中 $w$ 是每个 $w\in S$ 的 $G$ 的标识。

提议。 允许 $S\subseteq F_{\infty}$。 由 $S$ 确定的组 $\mathfrak{V}$ 的选择满足:

  1. $\mathfrak{V}$ 在子组下关闭:如果 $G\in\mathfrak{V}$ 和 $H\lt G$,则 $H\in\mathfrak{V}$
  2. $\mathfrak{V}$ 在同态照片下关闭:如果 $G\in\mathfrak{V}$ 和 $\pi\colon G\to K$ 是一个满射团队同态,那么 $K\in\mathfrak{V}$
  3. $\mathfrak{V}$ 在任意直项下关闭:如果 $\{G_i\}_{i\in I}$ 是团队的家庭成员(近似维度),并且每个 $i\in I$ 为 $G_i\in\mathfrak{V}$,则 $\prod\limits_{i\in I}G_i\in\mathfrak{V}$

Birkhoff 是 HSP 定理。 允许 $\mathcal{C}$ 是一个非空类的组。 之后,当且仅当 $\mathcal{C}$ 在 (H) 同态图像、(S) 子组以及 (P) 任意直积下关闭时,$\mathcal{C}$ 是一组组。

推荐。 让 $G$ 成为一个团队,也让 $\mathfrak{V}$ 成为一个团队范围。 那么有一个$G$的最小正规子群,$\mathfrak{V}(G)$,使得$G/\mathfrak{V}(G)\in \mathfrak{V}$。 如果 $\mathfrak{V}$ 被标识集 $S\subseteq F_{\infty}$ 确定为一个变体,则 $\mathfrak{V}(G)$ 是 $S$ 的图像在所有同态 $F_{\infty}\to G$ 下创建的 $G$ 的子群。

证明。 显然,至少有一个典型的子组 $N$,例如 $G/N\in\mathfrak{V}$,特别是 $N=G$。 如果 $\{N_i\}$ 是 $G$ 的常规子群族,使得 $G/N_i\in\mathfrak{V}$ 对应于每个 $i$,则 $\prod (G/N_i)\in\mathfrak{V}$,考虑到它是 $\mathfrak{V}$ 中的群的乘积。 并且 $G$ 到 $\prod(G/N_i)$ 的规范映射具有内核 $\cap N_i$,因此 $G/N_i$ 与 $\mathfrak{V}$ 中的一个组的子组同构,因此取决于 $\mathfrak{V}$。 因此,我们可以将 $\mathfrak{V}(G)$ 作为所有正则子群 $N\triangleleft G$ 的交汇点,使得 $G/N\in\mathfrak{V}$。

对于第二个描述,令 $f\colon F_{\infty}\to G$ 为同态。 那么 $\pi\circ f\colon F_{\infty}\to G\to G/\mathfrak{V}(G)$ 是从 $F_{\infty}$ 到 $\mathfrak{V}$ 中的一个团队的映射,由于 $S$ 决定了 $\mathfrak{V}$,那么 $S$ 应该依赖于这个映射的内核。 出于这个原因 $f(S)\subseteq \mathfrak{V}(G)$。 即 $\mathfrak{V}(G)$ 包含了 $S$ 在同态 $F_{\infty}\to G$ 下的所有照片。 现在让 $N$ 成为所有此类照片生成的子组。 这个组是正常的,因为如果 $f\colon F_{\infty}\to G$ 是任何类型的同态,那么 $f(S)^g$ 是 $S$ 在同态 $\varphi_{g}\circ f$ 下的图像(其中 $\varphi_g$ 是 $G$ 由 $g$ 计算出的内部自同构),因此 $f(S)^g\subseteq N$ 对于所有 $g\in G$。 这适用于所有 $f$,因此 $N$ 的生成集通过共轭映射到自身。 这表明 $N$ 是典型的; 还有 $G/N\in\mathfrak{V}(G)$,因为每个同态 $F_{\infty}\to G/N$ 都会提升为同态 $F_{\infty}\to G$,然后 $G/N$ 中的 $S$ 的图片是次要的。 因此,$\mathfrak{V}(G)\subseteq N$,验证平等权利。 量子点

正则子群 $\mathfrak{V}(G)$ 称为 $G$ 的语言子群代表 $\mathfrak{V}$。

论文。 让 $G$ 成为一个组,也让 $\mathfrak{V}$ 成为一个团队范围。 那么 $\mathfrak{V}(G)$ 的特点是坚持全局住宅属性:$\mathfrak{V}(G)\triangleleft G$, $G/\mathfrak{V}(G)\in\mathfrak{V}$,并且对于每一个 $H\in\mathfrak{V}$ 以及每一个团队同态 $f\colon G\to H$,都有一个独一无二的群同态 $F\colon G/\mathfrak{V}(G)\to H$ 使得 $f=F\circ \pi$,与 $\pi\colon G\to G/\mathfrak{V}(G)$ 是批准的预测.

证据。 首先,我们显示 $\mathfrak{V}(G)$ 有这个建筑物。 允许 $H\in\mathfrak{V}(G)$,也允许 $f\colon G\to H$ 是任意群同态。 根据同构定理,$G/\mathrm{ker}(f)\cong f(G)\lt H$; 因为 $f(G)$ 是 $\mathfrak{V}$ 中的一个群的子群,之后是 $f(G)\in\mathfrak{V}$,因此是 $G/\mathrm{ker}(f)\in\mathfrak{V}$(它与 $\mathfrak{V}$ 中的一个群同构)。 假设 $\mathfrak{V}(G)$ 是 $G$ 的最小正态子群,其比率在 $\mathfrak{V}$ 中,然后是 $\mathfrak{V}(G)\subseteq\mathrm{ker}(f)$,通过商的通用主页,$f$ 元素与 $G/\mathfrak{V}(G)$ 明显不同,产生 $F$。 目前已经建立了 $\mathfrak{V}(G)\triangleleft G$ 和 $G/\mathfrak{V}(G)\in\mathfrak{V}$。

最后,我们展示了满足这个全局构建的正常子群 $N$ 在现实 $\mathfrak{V}(G)$ 中仍然存在。 我们知道 $\mathfrak{V}(G)\subseteq N$ 通过构造。 并由通用住宅或商业财产,典型投影 $G\to G/\mathfrak{V}(G)$ 变量与 $G/N$,所以 $N\subseteq \mathfrak{V}(G)$,证明相等。 量子点

现在,所有阿贝尔团队的类是一个变体(包括同态图、子群和近似直积)。 实际上,该类由单个标识 $x^{-1}y^{-1}xy$ 标识:当且仅当对于每个 $g,h\in G$, $g^{-1}h^{-1}gh = 1$ 时,团队 $G$ 是阿贝尔; 如果我们让$\mathfrak{A}$代表所有阿贝尔群的多样性,那么$\mathfrak{A}(G)$正是由$x^{-1}y^{-1}xy$的所有值创建的子群,即交换子群。 因此 commutator 子组实际上具有所需的全局住宅属性,因此 $G^{\rm ab} = G/[G,G]$ 具有首选的全局建筑物。

如果您打算将“abelian group”替换为“abelian team of exponent $n$”,那么您肯定会使用集合 $S=\{x^{-1}y^{-1}xy, z^n\}$,并且还使用由交换器和所有 $n$ 次方产生的 $G$ 子群。 如果您将“abelian group”替换为“nilpotent of class $c$”,然后您将具有 $(c+1)$st 的换向子组更改为下中心级数,由单词 $$[[\cdots [x_1,x_2],x_3]\cdots x_{n+1}].$$ 建立,依此类推。

同样参见 这个关于交换中心对偶的讨论 以了解有关范围和语言子组的更多信息。

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2022-06-07 15:06:14
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