NP 硬/完全

我从来没有对这个概念非常清楚。 请协助:

归根结底,我们应该打算认识到迄今为止我们没有多项式解决方案并且只有指数解决方案的有用问题。我们希望继续发现是否可以找到解决这些问题的多项式解决方案并使用减少只是能够在现有众所周知的指数问题的帮助下确定新的指数可以理解的麻烦。??

为什么将确定性和非确定性的概念直接带入快速且多项式可理解问题的整个概念中? 这个概念有什么价值?

到目前为止,我们只有指数选项,但是我们还没有能力找到一个众所周知的 NP 的简化问题——困难/完全问题。?

谢谢,

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2022-06-07 14:40:01
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答案: 3

我肯定会说,“非确定性”原则只是 NP 讨论中的重要红鲱鱼之一——完全麻烦。 在我看来,最好考虑一个问题是在 NP 中作为标准证实补救措施; “如果为我们提供了一个假设的故障选项实例,我们可以在多项式时间内验证它吗?”。 通过这样做可以看出,NP 中的许多问题变得更加清晰:例如,只需将声称的赋值插入表达式的所有变量并确认结果,即可验证(布尔表达式的)可满足性成立; 旅行推销员问题可以通过确认所提议的课程到达所有城市,不超过何时到达任何类型的城市,并且总体规模在必要范围内来验证; 等等所有这些肯定需要多项式时间来验证。 “指数可解性”确实是一条红鲱鱼; 对于 NP 完全问题,有一个明显的指数时间算法(使用我们的多项式时间检查算法对每个显着的 - 许多可能的解决方案情况),但是指数实际上并不是这些问题的核心; 它只是搜索空间维度的一种表达。 以这种方式来看,P 与 NP 的问题变成了“如果我们能够有效地确认解决方案,我们能否有效地找到解决方案?” - 但这与快速问题本身毫无关系。

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2022-06-07 15:09:01
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NP 问题是我们有一个(确定性)算法来确认推荐的解决方案确实是一个选项的问题。 因此,给定的合理表达式是否可满足的问题是 NP,因为我们可以在多项式时间内正确地验证提出的真值分配是否令人愉悦。 提供的销售人员旅行地图是否在修复后的旅行支出计划内有前往每个城市的路线的问题是 NP,因为我们可以在多项式时间内确认任何类型的建议路径是否适合需求。 相反,NP 问题的难点在于提出建议的选项,以找到令人满意的现实任务或可靠的旅行路线。

这些 NP 问题都是可以理解的指数时间,因为简单地试验所有可能的组合的荒谬算法随后需要指数时间。 非确定性进入图像,因为人们可以看到“猜测适当答案”的过程,然后将其确认为非确定性算法。 因此,NP问题是那些具有非确定性多项式时间算法的问题。

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2022-06-07 15:08:53
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的:如果 $\text{P} \neq \text{NP}$ 表示 NP - 困难问题需要快速时间算法是一个典型的误解,它似乎相当普遍。

事实上,我们已经知道具有亚快速算法的 NP - Hard issues! 例如在这里看到这个:http://hal.inria.fr/docs/00/47/66/86/PDF/cops_journal_2008_10_16.pdf

声称,有一个猜测,称为 指数时间假设 提到 3 - SAT(以及其中一些是变体)无法在以下 - 指数时间内解决。

现在您可能会问自己,为什么上述针对 NP-Hard 问题的次指数算法不会证伪指数时间假设,因为我们最终可以从 3-SAT 减少?

因素是允许减少以破坏输入多项式。 状态 $A$ 降低到 $B$ 并且 $B$ 具有 $\theta(2^{\sqrt{n}})$ 时间算法。 现在,如果减小使得 $B$ 的输入维度为 $n^2$(对于 $A$ 是 $n$),那仍然为我们提供了 $A$ 的 $\theta(2^n)$ 时间算法。 所以,即使 $A$ 从来没有真正的亚指数时间算法,我们仍然可以让它最小化到一个实际上有亚指数时间算法的问题。

至于为什么我们有非决定论,我是思维这首先由 Rabin 和 Scott 在他们关于确定性有限自动机和非确定性有限自动机的文件中开始。

一旦 Cook/Levin 引入了 NP - Completeness 的概念,并且 Karp 等人给出了一个有影响力的清单,列出了 21 个 NP - Complete 的全自然问题,NP 就成为一个极其重要的类别。

我认为是 Edmonds 首先将 NP 确定为“多项式证书的问题”。

(注:以上 3 段是凭记忆,我没有验证它们)。

实际上,NP 有一些不使用非确定性的表征。 现有的热点话题一直在使用 PCP定理 来验证不同的 NP - Hardness 结果,以估计 NP - Hard 麻烦的版本。

因此,非确定性仍然是 NP 定义的一部分,并且在传统上是至关重要的,但目前的立场是它不是强制性的 .

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2022-06-07 15:07:32
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