阿贝尔化会改变 $\pi_1(X)$ 的等级吗?

我在看第一个同调群$H_1(X)$和基础团队$\pi_1(X)$的关系。 提供了一个课程链接区域 $X$,我毫不费力地掌握了 $\pi_1(X)$ 应该是什么(据我所知,可以非正式地采用房间中的各种“开口”)。 因此,如果我认识到采用阿贝尔化 $\pi_1(X)_{ab}$ 不会改变基本群的秩,那么推导出 $H_1(X)$ 肯定会非常容易。

例如,$S^1 \vee S^1$ 有 2 个“开口”,因此不费吹灰之力就可以相信 $\pi_1(X) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$。 它也以 $H_1(X) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ 结尾,因此它们具有相同的等级。

我的问题是,这总是成立吗? 是否存在 $H_1(X)$ 和 $\pi_1(X)$ 的等级不同的情况?

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2022-06-07 14:40:55
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答案: 1

如果 $G$ 是一个组,则 $G$ 和 $G_{ab}$ 不必具有相同的排名。 例如,$A_5$ 的等级为 2,而它的 abelianization 是不重要的组,等级为 0。每个团队都是某个路径连通房间的基本组,因此这表明存在一个房间 $X$,使得 $H_1(X)$ 和 $\pi_1(X)$ 具有不同的等级。

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2022-06-07 15:09:09
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