基数!=密度?

我在一次谈话中说,关于无限系列的非负整数,2 组相同基数的密度可能是不同的。 基数是否表明任何类型的 ${\aleph_0}$ 集合与任何类型的任何其他类型的完全相同的 ${\aleph_0}$ 集合具有相同的厚度?

此外,基数是否意味着集合大小的等价性? 或者是不能对比的不同费率的正式排名?

好的,到现在为止。 目前扩展问题:

密度可以不同,但​​计数一致。 Boundless = = 无限当且仅当基数是可比的。 为什么不同的密度不意味着无限集! =即使基数相等也是无限集?

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2022-06-07 14:41:04
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答案: 3

naturals 的子集可以有各种 自然密度。 如果自然密度高于绝对没有,则该部分是可数无限的。 想想所有的自然数(厚度 1)和偶数(厚度 1/2)。 但也有无边无全自然粗细的部分,也有无边无边无全自然密度的地方。

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2022-06-07 15:10:25
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让 $\mathbb{N}$ 指代有利的整数。 通常我们定义零件 $A\subset \mathbb{N}$ 相对于整数的厚度为 $$\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{|\{m\in A:m\leq N\}|}{N}.$$ 例如,偶数集 $$\{2,4,6,\dots\}$$ 的厚度为 $\frac{1}{2}$。 由此不难看出,对于任何类型的 $c\in[0,1]$,您都可以找到密度为 $c$ 的集合。

请注意,如果 $c>0$ 这会自动表示该集合具有基数 $\aleph_0$,但同样可能有一个厚度为 $0$ 且基数为 $\aleph_0$ 的集合。 例如,$2$ 的幂集或素数集。

希望有帮助,

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2022-06-07 15:10:01
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我相信你并不完全清楚基数和密度的方式。

首先,基数是“最原始”的大小概念。 要使 2 个集合具有完全相同的基数,它们只需要一个双射,即声称“存在一个包含两列的表,每个集合一个列,并且所有元素在该列中只出现一次。”

你描述的想法叫做 戴德金无限 ,即与正确部分具有相同的基数。

说到厚度,可以从几个方面来处理:

  • 稠密有序集 是一个集合,对于每一个 $x,y$ 都有一个严格位于它们之间的 $z$。 有理数是这样设置的,有利的整数不是。¢如果有第一个和/或最后一个因素(例如所有小于或等于一个的非负有理数),则习惯上排除端点从密度要求和状态,也有第一个/最后一个点
  • 拓扑 密集集:如果 $A$ 是拓扑空间,则 $D\subseteq A$ 是稠密在 $A$ 中,如果且仅当它与每个开放集的交叉点都是非空的。 有理数在真实数字中很厚,在这种感觉中,考虑到每个非空的时期都由它内部的一个逻辑点组成

如果拓扑房间具有线性顺序地理(例如实数),那么在拓扑感觉中的厚嵌入也是密集顺序(尽管反之亦然,考虑所有实际数字与 $-1$ 到$1$)

实数提供了一个非常大的房间(它的基数是连续的)的例子,其中一个非常小的(可数)部分很厚(拓扑上)。

大小的第三个概念是 措施 ,它大约转换为体积。 大集合是一组有利的程序(或等于整个空间的动作)。

勒贝格测度 是一种以我们希望它起作用的方式识别实际数字子集数量的方法,也就是说,如果我们只是在集合中移动,它肯定不会改变它的数量,如果我们扩展它,体积肯定会增加作为我们扩展的方面。

可以构造一个具有 Lebesgue 过程 $0$ 的集合(即没有任何体积),在任何类型的因素上都不厚(即,如果一个点在集合之外,那么它有一个不与该集合相交的开区间)为它仍然是连续体的基数。 这也可以推广到我们想要的任何音量。

由于这个原因,这些概念很少相关,如果我们有一个非常小的(在基数上)集,它很厚(在拓扑上是巨大的),还有一个在基数上非常大但在拓扑上说话真的非常小。


总而言之,有多种方法可以准确地确定集合的大小,以及随着您获得的每一个新策略(过滤器、共定性等等)变得越来越复杂。 它们可能属于也可能不属于或相关联,但情况通常是我们想要一种新的方法来“调整”集合,这主要是因为我们想要的那些对于可用的工作来说很麻烦。

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2022-06-07 15:09:29
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