关于 Big Rudin 中的符号的问题

我想知道为什么鲁丁在他的“真实和复杂的分析”中使用了以下符号。 符合定义 8.7。

如果 $(X, \mathscr{S}, \mu)$ 和 $(Y, \mathscr{T}, \lambda)$ 是两个 $\sigma$ - 受限行动室,以及 $Q\in \mathscr{S}\times \mathscr{T}$,则指定 $(\mu\times \lambda)(Q)=\int_{X}{\lambda(Q_x) d\mu(x)}=\int_{Y}{\mu(Q^y) d\lambda(y)}$。

我担心的是为什么 $\mu$ 和 $\lambda$ 分别依赖 $x$ 和 $y$ ? 一旦提供了度量空间 $(X, \mathscr{S}, \mu)$ 和 $(Y, \mathscr{T}, \lambda)$,他们就不会照顾吗? $\mu(x)$ 和 $\lambda(y)$ 的定义是什么或者作者想在这里强调一下?

谢谢。

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2022-06-07 14:41:36
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答案: 1

$\mu(x)$ 没有意义(Rudin 也没有使用这个符号)。 另一方面,函数 $f$ 相对于度量 $\mu$ 的重要性以多种方式表示,其中包括 $$ \int f \mathrm{d}\mu=\mu(f)=\int f(x) \mathrm{d}\mu(x)=\int f(x) \mu(\mathrm{d}x). $$

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2022-06-07 15:10:37
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