限制更长时间的修剪定期

我正在寻求一个无可挑剔的上限

\begin{equation*} \int_y^\infty x^k \exp(-(x-\mu)^2/2) dx \end{equation*}

for(可能是巨大的)有利整数$k.$这个数量可以定位更精细的定期循环。 一个对非整数$k$有利的界限肯定也会好得多。

当然,“无忧无虑”仍然留在观察者眼中,但我肯定会在某种类型的相当直接的表达中,我可以在更多的估计中使用它。 作为一个例子,$f(x) \exp( -g(x))$类型的上限,其中$f$和$g$都被减少 - 级别多项式肯定会很棒。 我对善良的简单性比获得最严格的可行约束更加好奇。

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2019-05-13 03:28:06
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答案: 2

我认为$y \gt 0$和$y \gg \mu$。 如果你用$y^k \exp {\left( (k/y)x - k \right) }$改变$x^k$,你肯定会夸大$x^k$术语(由于这是$\log(x^k)$的MacLaurin集合的前2个指数在$x=y$附近增加的指数,该集合正在旋转,并且其余的术语也是不利的)。 完成正方形返回一个上限的闭合公式,其中变量是高斯必不可少的:

$$\sqrt{2\pi }y^k \exp \left( {\frac{k (k+2 y (-y+\mu ))}{2 y^2}} \right) \Phi \left(\frac{k}{y}-y+\mu \right)$$

当$k$与$y$和$\mu$形成鲜明对比时,这肯定会非常好地运行,因为在此之后,必不可少的大部分质量集中在其较低的限制,其中$x^k$的快速上限是一个很好的估计。 要避免快速溢出,使用对数来计算项目。

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2019-05-18 09:29:02
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设$I_k=\int_y^\infty x^k\mathrm{exp}(-(x-\mu)^2/2)dx$和$a_k=y^{k}\mathrm{exp}(-(y-\mu)^2/2)$。

组件同化提供$I_k=a_{k-1}+(k-1)I_{k-2}$。

因此,对于$n$,\begin{multline} I_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-3}+(n-1)(n-3)a_{n-5}+\cdots\newline+(n-1)(n-3)\cdots 1 a_1+(n-1)(n-3)\cdots 1 I_0. \end{multline}也是如此

随意扩展此解决方案,并推理上述价格报价。

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2019-05-17 15:14:15
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