对除数原则和类别的直观描述

当试图向计算机系统研究人员阐明AG代码时,我所面临的重要意见因素是除数原理,Riemann-Roch空间以及功能区域的类别。 是否存在对这些原理的任何本能描述,理想情况下描述更少取决于代数几何/拓扑的专业知识?

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2019-05-07 10:41:30
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答案: 4

如果您的CS亲密朋友与我相似,他们仍然可以找到解决方案有点令人沮丧。 所以你可以坚持:

首先,向他们展示维基的除数网页(它不断运行!)。 之后通过算术的基本定理向他们澄清,任何类型的除数都只是一些具有多重性的素数。

接下来,通知他们完全可以与$\mathbb Z$相媲美,FTA说服$\mathbb C[x]$(你可以采取一行)。 除了因为每个“除数”(多项式)可以在该特定线上采用多个因子(多项式的起源),具有多重性。

然而为什么要停止直线? 人们可以对飞机上的(明显精彩的)轮廓做同样的观点,并且获得许多因素的全自然手段是与附加轮廓会聚。 顺便说一句,许多因素“分开”轮廓,更保证条款!

回到$\mathbb C[x]$,你可以提到各种因子(包括mult。)是多项式$p(x)$的水平,或矢量室$\mathbb C[x]/(p(x))$的测量。

现在,如果他们仍然关注你,请向他们展示Matt E的出色解决方案( - :

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2019-05-09 10:53:15
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嗯,类别和除数的原则最初源于几何/拓扑直觉,因此这些描述通常可能是最快的。

尽管如此,我们可以提供非常苛刻的变化,而不要求“类别是轮廓类似的表面区域中的各种开口”。 您可以将类别视为功能区域有多难的操作。 通常情况下,$k(x)$可能是最基本可行的一种,并且它也绝对不是。 第一类功能区域类似于$k(x,y)$,其中$y^2$是$x$中的立方体。 目前,这不是特定的,但它是一个严厉的问题。

当涉及除数时,它们的拓扑/几何是“因子的直接混合,模数绝对没有 - 特征的$\infty$基因座”,但是要完全用代数管理它,你打算将单词“factor”转换为“不同的评估” “,所以这些是用于定义函数区域组件顺序的众多方法的整数直接混合,以一些不重要的模块为模。

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2019-05-09 06:58:57
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查尔斯目前实际上澄清了类别的概念(源于地理 - - 此外还有一个完全代数的类别作为第一个上同调团队的想法,但我至少肯定会找到它本能的更少本能)。 所以我会谈论除数。

首先,非奇异投影轮廓的分析思想是便携式黎曼表面区域。 “非奇异”转换为“错综复杂的流形”,“轮廓”转换为“测量1”,“投射”转换为“便携式”。 所以我一定会谈论黎曼表面区域。 *

如果您有一个黎曼表面区域,它就像您所在地区的设施飞机一样。 而且在设施飞机中,你有办法衡量绝对没有全纯函数的顺序。 通常,你可以测量(在$\mathbb{Z}$中)绝对没有亚纯函数的顺序(如果它有一个帖子则是不利的,如果它是非常的并且也是分析则绝对不是,如果它绝对没有则是有利的)。 因此,对于任何类型的亚纯函数(当然,我们不限于全纯的函数 - 它们都是常数)在便携式黎曼表面区域上,我们可以分配一组有限的因子,其中多重性包含订单所在的区域非零(即绝对的nos和帖子)。

除数是额外的基础。 这只是具有多重性的黎曼表面区域的官方数量因素。 除数可能来自上述函数; 之后,它被称为校长。 尽管如此,但事实并非如此。 然而提供了除数$D$,我们可以将亚纯特征的向量空间关联起来,使得$div(f)+ D$是具有非负系数的除数。 这表示为$L(D)$,也是$l(D)$的测量值。

黎曼 - 罗克定理之后是关于测量$l(D)$的声明。 具体来说,它的效果之一是,如果$|D|$(多重性的数量)很大,那么你可以不断地找到$L(D)$的(非零)分量。 这很容易理解。 如果$D$很大,那么你就可以为$f$提供很大的灵活性,可能在几个区域有帖子。

*我在下面是随意的,但是有一个关于这些等价的基本“GAGA”概念进入了更多的信息,我不认识这些。

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2019-05-09 06:58:46
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如果你打算不使用代数几何和地理,那么你可能会被迫使用代数。 这是可以的,因为你询问的事情有代数分析。

首先,它可能有助于将函数区域写为$k(x,y),$,其中$x$和$y$通过某个公式$f(x,y) = 0$连接。 一个问题是可能是因为整个过程不能选择$f$(因为不是每个轮廓都可以安装为平滑的飞机轮廓),但是最好忽略这一点; 如果它变得至关重要,那么可能你的同事无论如何都会更深入地探索这个概念,因此整个描述程度可以增加。

目前为了澄清除数,你可以让它们可视化收敛$f(x,y) = 0$和其他一些轮廓$g(x,y) = 0$; 交叉点肯定会有很多因素,可能具有多重性。 这是一个除数。 所以除数只是刻画轮廓如何相互融合的全天然手段。 (同样,我忽略了无穷大因素的关注;你肯定需要确定这是否理想,或者你的描述是否需要更高的准确度。)

当谈到这个类别时,用代数来澄清它是有点困难的,但却是可行的; 以下是:

假设公式$f(x,y) = 0$的级别为$d$,因此您的函数区域表示飞机中的$d$等级轮廓。 当前允许$V_n$是$x$中的级别$\leq n$的所有多项式的向量空间以及$y$。 允许意图$n \geq d$(也作为一个整体,我们需要假设$n$很大)。

直接计算显示$V_n$具有测量$(n+2)(n+1)/2$。 在$V_n$中,我们有一个子空间,包含$f$的所有倍数。 通过获取$V_{n-d}$的分量(即,大多数为$n-d$的多项式)并且还将它们增加$f$来获得该子空间,即它是$V_n$的子空间$f V_{n-d}$,因此具有测量$(n-d+2)(n-d+1)/2$。 如果我们在测量$n d + 1 - (d-1)(d-2)/2$之后考虑商$V_n/fV_{n-d},$。

这个比例的定义是什么?

如果$g \in V_n$代表$V_n/fV_{n-d}$的非绝对无组件,那么它是$n$级别的公式,即 可以被$f$整除,所以它 才不是 在$f(x,y) = 0$上相同地消失,因此根据Bezout的理论,$g(x,y) = 0$和$f(x,y) = 0$的连接是$n d$因子,即级别$n d$的除数。 因此,我们看到$V_n/f V_{n-d}$的非绝对没有组件表示通过将$f(x,y) = 0$与$n$等级轮廓收敛而获得的级别$n d$的除数。 (实际上,我们需要考虑非绝对没有近似缩放的分量,因为如果我们通过非绝对无标量增加$g$,则轮廓$g(x,y) = 0$不会变换。)

因此,在$f(x,y) = 0$的所有级别$n d$除数中,那些通过与$n$级别轮廓收敛而停止的除数创建了一个测量空间$n d - (d-1)(d-2)/2.$(这里我扣除了1,因为重新缩放构成了上述公式中的1个测量值。 )

目前,对于$n d$等级的所有除数的房间的测量是什么(具有非不利系数,这是唯一可能出现为结的类型;具有非不利系数的除数被称为可靠)? 好吧,我们只需要选择$n d$因子并相互添加它们。 我们从一维的轮廓中挑选因子,以确保建议有一个$n d$维度的可靠除数为$n d$的空间。

因此,我们看到,在$n d$级别的所有可靠除数的$n d$维空间中,通过与$n$级别轮廓收敛而出现的那些是测量子空间$n d -(d-1)(d-2)/2$。

量$(d-1)(d-2)/2$特别是类别。 所以我们看到的是,类别越大,$f(x,y) = 0$上的$n d$除数就越难以通过与另外的轮廓收敛而得到。

作为示例,如果级别$d$是$1$或$2$,则之后类别消失,并且每个级别$n d$除数源自与$n$级别轮廓的会聚。
例如,在圆锥曲线上(即当$d = 2$时),任何类型的2个因子都来自于与线汇合(穿过这2个因子的线),任何类型的4个因子都源于与圆锥曲线会聚,等等。

另一方面,如果等级$d = 3$,那么$f(x,y) = 0$上的因子并非所有三元组都来自于与一条线汇合:实际上如果你提供了自己的2个因子,那么它们之后就会建立一条线,随后建立第三个因子交界处 以类似的方式(上升到实例$n =3$),立方体上的一组基本9个因子不是来自与另一个立方体的收敛; 相反,如果你在立方轮廓上提供你自己的8个因子,你可以找到通过这8个因子的另一个立方体,并且通过所提供的8个因子明确地确定其第9个交叉因子。 (由于9 = 8 + 1,这是我们的立方轮廓具有类别1的现实的一定指示。)

正如你所看到的,我已经过期了一个额外的几何思维模式(利用诸如测量之类的想法),但我不认为人们可以完全阻止这种情况:类别的原则传统上来自基本上类似的计算我只是在制作,而且在某些时候你需要考虑除数的房间以及它们的测量值,如果你想要识别它。 尽管如此,我希望这能为您提供一种方法来澄清额外代数的原理,因此您的同事可以获得额外的代数。

另一个技术陈述:房间$V_{n}/f V_{n-d}$是黎曼 - 罗奇房间的一个实例,其测量公式($n d + 1 - $类别)是Riemann - Roch公式的祖父条款。

[技术声明包括对下文所列评论中对T.的调查的反馈; 如果价格昂贵,请毫不犹豫地忽略它:]请注意,如果$f$被允许为单一(并且也是不可简化的,声称,以确保我们不能使多项式$g$在一个上消失),上述对话也起作用$f(x,y) = 0$的一部分,不会消失整体轮廓)。 因素是$(d-1)(d-2)/2$始终是 数学类 等级为$d$的飞机轮廓,轮廓是否平滑,以及它是干扰黎曼 - 罗奇公式的数学类别。 (我认为这是形容词的开头 数学 在数学类中:当您对Riemann - - Roch - 对除数的多个房间的测量值进行估计时,单个等值线的类别的这种变化会出现。)

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2019-05-09 04:26:14
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