对称矩阵以及正交对角化。

一个$3\times 3$矩阵$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\ -2 & 3 & -2\\-1 & 1 & 0\end{pmatrix}$$

生成这个特定的公式:$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$,这些特征值:$\lambda_1 = 1$,$\lambda_2 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$,$\lambda_3 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}$,以及这些特征向量:

  1. 对于$\lambda_1$,$\vec{x} = s\left<1,1,0\right> + t\left<-1,0,1\right>$(或$\operatorname{span}\{\left<1,1,0\right>, \left<-1,0,1\right>\}$),$\vec{x}_1 = \left<1,1,0\right>$,$\vec{x}_2 = \left<-1,0,1\right>$
  2. 对于$\lambda_2$,$\vec{x}_3 = \left<0,0,0\right>$
  3. 对于$\lambda_3$,$\vec{x}_4 = \left<0,0,0\right>$

在稳定当前正交的$\vec{x}_1$之后,我得到$\operatorname{span}\{\left<\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2, 0\right>, \left< -\sqrt{2}/2, 0, \sqrt{2}/2\right>\}$。

建立用于对角化的$P$矩阵,似乎是单个的$3\times 4$矩阵:$\begin{pmatrix} \sqrt{2}/2 & -\sqrt{2}/2 & 0 & 0\\ \sqrt{2}/2 & 0 & 0 & 0\\0 & \sqrt{2}/2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

问题:为什么我有4个向量,为什么其中2个绝对没有向量? 对称矩阵是 经常 可对角化的,其中$P$为$P^{-1} = P^T$。

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2019-05-07 11:23:56
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答案: 2

嗯,首先,矢量不是正交的,一组矢量是。 请记住,对于2个正交的向量,它表明它们可以根据其他各种不同而采用适当的角度,还有正交方法,加上它们是设备向量。

目前,如果我需要声明我假设你的第一个错误,你采用3 x 3矩阵并且还以某种方式获得了方形公式,但你需要一个立方体。 另外,当涉及到你的特征向量时,$\lambda_4$的起源是从哪里来的? 它是什么? 图标只显示在任何地方。 可能你有拼写错误,它也是$\lambda_2,\lambda_3$而不是3和4,并且它们每个都必须有一个非零的特征向量,因为它们是多重性1的特征值(尽管有公式错误,它们不可能是特征值)因此,你肯定需要错误地开始使用二维本征空间。

尽管如此,两个特征向量都用于检验,这表明你已经不准确地计算了特征值。

(与简单的解决方案相反,我放置了我所做的所有推理,因为我认为它可以帮助明确如何检查您将来的操作)

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2019-05-09 06:48:21
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你的特殊多项式是错误的。 最有可能是wolframalpha.com并输入:2, - 1,1, - 2,3,2, - 1,1,0

www.wolframalpha.com/input/?i = 2,+ - 1,+ 1, - 2,+ 3,+ 2,+ - 1,+ 1,+ 0

你肯定会看到特定多项式是第3级。 它必须是第3级,因为你的矩阵是3x3。 以下是您将获得的:

p(x)= - x ^ 3 + 5 x ^ 2 - 3 x - 1
lambda_1 = 4.23607
lambda_2 = 1
lambda_3 = - 0.236068

而你肯定还会获得3个特征向量。 (3x3矩阵从不4)。

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2019-05-09 06:43:39
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