全自然地图$L^p(X) \otimes L^p(Y) \to L^p(X \times Y)$是否是内射的?

允许$X,Y$为$\sigma$-finite动作室,并允许$L^p(X) \otimes L^p(Y)$为代数张量项。 该项目有一个全自然的映射到$L^p(X \times Y)$,它将$\sum a_{ij} f_i \otimes g_j$带到函数$F(x,y) = \sum a_{ij} f_i(x) g_j(y)$。 一分钟的想法表明这张地图是截然不同的。 它是否另外是单射的?

看来这需要成立,但我看不出如何确认它。 轻松地,需要表明如果$\sum a_{ij} f_i(x) g_j(y) = 0$ ae之后需要能够终止使用双线性的数量的所有项。 如果不承认任何有关条款的内容,如何做到这一点并不十分清楚。

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2019-05-07 11:29:19
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答案: 2

此解决方案的先前变体是错误的。 事实上,Nate Eldredge已经批准了“它肯定有适当的建议”。 以前的这种变化实际上远远超过了人们的生活。 观众需要与Nate的回答取得联系,这是正确的,也是完整的。 我将在下面简单地尝试定义基础线性代数引理(这是不重要的,但我没看到它)。

LEMMA。 在某些区域$K$上允许$U,V,W$个矢量房间,并且$\alpha:U\otimes V\to W$也是一个直线图。 认为对于$U$中的每个非零向量$u_0$,存在直接映射$\beta:W\to V$以及$\gamma:U\to K$,使得$\gamma(u_0)\not=0$以及$$\beta(\alpha(u\otimes v))=\gamma(u)v\ \forall\ u,v.$$然后$\alpha$是单射的。

可以非常方便地从Nate的回答中删除证据。 以下是最典型的应用之一:

应用。 允许$U,V,W$特别是$K$的空间 - 集合$X,Y,X\times Y$上的有价值特征,$\beta,\gamma$也提供$\gamma(u)=u(x_0)$,其中$x_0$被选中以确保$u_0(x_0)\not=0$。

编辑。 下面是一个轻概括。

允许$X$为行动室,允许$\mathcal V(X)$为$X$上所有可量化设施值要素的向量空间,允许$\mathcal N$为几乎在任何地方消失的要素子空间,并允许$V(X)$为比率。 [这些房间有典型的符号吗? ]

允许$Y$成为额外的行动室。 从$\mathcal V(X)\times\mathcal V(Y)$到$\mathcal V(X\times Y)$的双线性映射将$(f,g)$发送到$(x,y)\mapsto f(x)g(y)$,生成从$V(X)\otimes V(Y)$到$V(X\times Y)$的直映射$\Phi$。

理论。 认为$X$和$Y$都是$\sigma$ - 有限。 之后$\Phi$是单射的。

这比Nate的回答中确认的声明有一些额外的基础,因为没有对特征进行可积性推测。

引理。 允许$f_i,\dots,f_n$保留在$\mathcal V(X)$中,并且$S\subset X^n$保留$x\in X^n$的集合,使得$\det(f_i(x_j))\not=0$。 之后,$f_i$在$V(X)$中是线性独立的,如果$S$的动作声明的话。

由$|A|$表示$A$的动作,并且$S_g$表示函数$g$的帮助,即xer_math_51函数非零的因子集。 将$d(x):=\det(f_i(x_j))$放置为$x\in X^n$。 上面的设置$S$当前是$S_d$。

要确认引理的if组件,请认为$f_i$在$V(X)$中是线性相关的,并且还要检查$|S_d|=0$是否符合。 允许$\lambda$为$\mathbb C^n$的非零向量,使得$g:=\sum \lambda_i f_i$喜欢$|S_g|=0$。 再次由$\lambda$表示由$\lambda_i$创建的1 $n$矩阵,并且还通过$A(x)$表示矩阵$(f_i(x_j))$。 对于$(S_g^c)^n$中的$x$,其中上标c表示“增强”,我们有$\lambda A(x)=0$。 在$A(x)$的调用右侧增加,我们得到$d(x)=0$。 这表明$S_d$在动作中完全没有$X^n$的$((S_g^c)^n)^c$部分。

要确认引理的正好组成部分,请考虑$|S_d|=0$并检查$V(X)$是否符合线性依赖于$V(X)$。 使用$x':=(x_1,\dots,x_{n-1})$将$d(x)$展开为$$d(x)=\sum\ d_i(x')\ f_i(x_n)$$。 通过归纳说,我们可以认为所有$i$都是$|S_{d_i}|>0$。 允许$U$是$S_{d_i}$的并集。 通过$d(x',\bullet)$表示函数$x_n\mapsto d(x)$,我们有$$S_d=\bigcup_{x'\in X^{n-1}}\ \{x'\}\times S_{d(x',\bullet)}.$$ Fubini返回$$0=|S_d|=\int_{X^{n-1}}\ |S_{d(x',\bullet)}|\ dx'.$$如果$f_i$在$V(X)$中是线性独立的,那么对于$U$中的所有$x'$,我们肯定会有$|S_{d(x',\bullet)}|>0$,这是一个反对派。 这个引理得到了证实。

允许确认理论。 在接下来的行中,$i,j,k$肯定会存在于1和$m$之间,而$p,q,r$肯定会存在于1和$n$之间。

允许$f_1,\dots,f_m$保留在$\mathcal V(X)$中; 允许$g_1,\dots,g_n$保留在$\mathcal V(Y)$中; 并且还放置了$F_{ip}(x,y):=f_i(x)g_p(y)$。

该理论相当于声明$f_i$的直接自由以及$V(X)$中的$g_p$以及$V(Y)$表示$F_{ip}$中的$F_{ip}$的直线自由。

允许$S\subset X^m$以及$T\subset Y^n$由问题$\det(f_i(x_j))\not=0$和$\det(g_p(y_q))\not=0$指定。 以明显的方式将$U:=S^n\times T^m$直接嵌入到$(X\times Y)^{mn}$中,并且还通过$z_{ip}=(x_{pi},y_{ip})$将$z\in(X\times Y)^{mn}$的$z\in(X\times Y)^{mn}$坐标表示为$z\in(X\times Y)^{mn}$。 之后,$z$保留在$U$ iff $x_p\in S$中,并且$y_i\in T$保留在所有$(i,p)$中,即所有$(i,p)$的iff $$\det\Big(f_j(x_{pk})\Big)_{jk}\not=0\not =\det\Big(g_q(y_{ir})\Big)_{qr}$$。 我们断言所有$(i,p)$的双重不等式的合法性表明不等式$$\det\Big(f_i(x_{qj})\ g_p(y_{jq})\Big)_{(i,p)(j,q)}\not=0.$$因为引理,理论就是这个例子。 然而,该案例不依赖于$X$和$Y$上指定的操作。 当$X$和$Y$都配备了检查操作(参见博客文章开头的“隐藏引理”的应用程序)时理论成立,我们就完成了。

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2019-05-09 04:23:59
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编辑:这是一个清理,并处理这个解决方案的变化,基于皮埃尔 - 伊夫的指针(非常感谢!)。 他的解决方案有一个更完整的变化。

如果$\sum_{i=1}^n a_{i} f_i \otimes g_i$不是$L^p(X) \otimes L^p(Y)$的绝对没有组件,我们可能会认为$f_i$是线性无关的。 我们还可以认为$a_1 \ne 0$和$g_1 \ne 0$。

意图等效函数$F(x,y) = \sum_{i=1}^n a_{i} f_i(x) g_i(y) = 0$ ae给定$g_1 \ne 0$,有一个有利的限制动作的可量化的$B \subset Y$,使得$\int_B g_1 \ne 0$(必不可少的受Hölder限制)。 在Fubini的理论之后,对于ae $x$,我们有$$ 0 = \int_{B} F(x,y)dy = \sum_{i=1}^n a_i \left(\int_{B} g_i\right) f_i(x). $$这否定了$f_i$的思想直接自由。

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2019-05-09 04:21:18
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