围绕一个甜蜜的包的概率概念

考虑一个包含的甜包 N = 100 甜食。 只有2种甜味保证。 声称糖甜,还有美味的巧克力甜味。 绝对没有任何关于袋子材料的额外信息。
目前,你很可能会一次性从袋中吸取(任意)一种甜味,直到第一次出现糖。 打算第一个糖出现在 k = 7 插图。

目前,我们可以保证什么可以保证各种糖果?

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2019-05-18 21:02:59
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答案: 3

由于100比7大一点,我们肯定会考虑估计的目标,即吸引愉悦的概率不受前一次抽奖的影响(当然它被修改了一点,但不是太多)。

允许吸引糖的概率为$p$,并且吸引美味巧克力的概率为$q,$,其中$p+q=1.$

然后吸引糖的预期种类吸引了

$$E= p+2pq+3pq^2+4pq^3+ \cdots = \frac{1}{p}.$$

因为我们在第7次抽奖时吸引了糖$7=1/p,$所以$p = 1/7.$因此甜点的$100/7 \approx 14$是糖。

如果我们使用正确的数字,下次抽奖时吸食糖的概率肯定会随着每一种美味的巧克力的吸引而上升,这肯定会使近似的各种糖降低,可能会降至13,但我不认为它肯定会鉴于我们从100个甜点开始,修改了很多。

第一次抽取糖的种类越小,可以准确地宣称的要少得多。 想象一下,如果你在第一次抽奖时吸引了糖,这可能表明它们都是糖,这可能是非常不正确的。

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2019-05-21 02:58:34
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您在下面询问的询问是对推论统计的永恒询问:“鉴于实验的最终结果,可以对潜在的概率循环提出什么要求?”

举例来说,您可以为未识别的“各种糖”(从下面称为$a$)提供估计。 经常使用的(因为它非常容易计算)肯定是最大可能性估计量,其中您将$a$近似为最佳利用最终结果概率的值。

在这种情况下,你肯定会选择$a$以充分利用$P_a(7)$(在第7次抽奖中吸引第一个糖的概率,认为它们有$a$)。 一个小的Excel估计,除了Isaac之外,还有计算$P_a(7)$的方法,因为$a$近似为14。

为了评估这个结果应该得到什么,你肯定需要计算这个估算器的均值误差,这不是那么方便。

如果您目前有一个关于$a$的理论(声明$a$ <20),您可以利用您的推测结果来检查它,也可以使用统计假设检验

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2019-05-21 02:53:45
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如果各种各样的糖糖果是$a$,那么前6个被吸引的概率肯定不是糖,而第7个被吸引的概率肯定是糖(认为我们不回归被吸引的糖果)是$P(\text{7th}|a)=\frac{93!(100-a)(99-a)(98-a)(97-a)(96-a)(95-a)a}{100!}$。 目前,考虑到实际已经发生这种情况,$a$的任何类型的特定值的概率$P(a|\text{7th})$被认为第一糖被吸引的第7个糖需要是$P(\text{7th}|a)$,因为某个$a$被所有可行的$P(\text{7th}|a)$的量分开。 $\sum_{a=0}^{100}P(\text{7th}|a)=\frac{101}{56}$,所以$$P(a|\text{7th})=\frac{P(\text{7th}|a)}{\frac{101}{56}}=\frac{56\cdot 93!(100-a)(99-a)(98-a)(97-a)(96-a)(95-a)a}{101!}.$$

抛出一些值并且还包括点数,$a\le 19$稍微小于50%(49.673%)的概率以及$a$的预期值是$\frac{65}{3}=21\frac{2}{3}$。


修改

:(我有点改变了我的初步解决方案,主要是符号,更好地适合下面列出的工作;我认为工作过去认为,没有认识到需要多少时间吸引第一个糖,每个可行的糖品种最有可能。)

意图$P(a)$是有$a$糖的概率。 如上所述,对于任何类型的$a$的某个值,吸引的第一个糖被吸引的第7个甜点的概率$P(\text{7th}|a)$是$$P(\text{7th}|a)=\frac{93!(100-a)(99-a)(98-a)(97-a)(96-a)(95-a)a}{100!}.$$因此,第一个糖所吸引的$a$糖的概率是吸引的第7个甜点是$P(a\text{ and 7th})=P(a)\cdot P(\text{7th}|a)$。 贝叶斯是定理:$$\begin{align} P(a|\text{7th})&=\frac{P(a\text{ and 7th})}{P(\text{7th})}=\frac{P(a\text{ and 7th})}{\sum_{k=0}^{100}P(k\text{ and 7th})} \\ &=\frac{P(a)P(\text{7th}|a)}{\sum_{k=0}^{100}P(k)P(\text{7th}|k)} \end{align}$$

现在,如果$P(a)=\frac{1}{100}$适用于所有$a$,则会生成我的初始解决方案。 如果$P(a)={100 \choose a}\frac{1}{2^{100}}$(带糖的二项式循环,并且最初加载袋时最不可能用于每个特定的甜味),则$a$的预期值为47.5。

如果$P(a)={100\choose a}p^a(1-p)^{100-a}$(当最初加载行李时,每个单独甜的概率为$p$的二项式循环),则$a$的预期值为$1+93p$。 如果$a$的预期值被认为吸引的第一个糖是吸引的第7个甜点,则相当于$a$的预期值而没有实际吸引任何种类的甜食,即$100p$,在$p=\frac{1}{7}$之后,所以$a$的预期值是$\frac{100}{7}=14\frac{2}{7}$。

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2019-05-21 02:43:17
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