度量标准和拓扑框架由标准生成

虽然确认某些标准间已满,但有2个询问涉及我的想法。 它们连接由标准生成的拓扑和统计框架。

1)在矢量室$V \ $上找到2个相等的标准$\|\cdot\|_1$和$\|\cdot\|_2$是否可行,这样$(V \ ,\|\cdot\|_1)$已满且$(V \ ,\|\cdot\|_2)$也不是?

2)是否存在向量室$V \ $以及2个不相等的标准,使得$V \ $两者都满了?

下面我想$V \ $是$\mathbb{C}$子域上的矢量空间。 此外,我认识到如果我们只考虑有限维度的矢量房间,解决方案就不是。

[编辑:如果他们指定相同的地理位置,我会考虑2个相同的标准。 我认为这是Jonas在评论中提到的常见想法。 ]

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2019-05-18 21:23:56
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答案: 1

1)否。显示同等标准既产生相同的会聚系列又产生相同的Cauchy系列,这一点并不复杂。 (在Rasmus之前写的是解决方案已上传,但稍后上传。)

2)是的。 一种方法是要记住,矢量房间的同构过程仅仅依赖于直线测量,因此查询总计定位于同一直线测量的2个非同构Banach房间。 这些事件有很多例子。 每个无限维可分离的Banach空间都具有线性维$2^{\aleph_0}$。 尽管如此,作为一个例子,$\ell^1$和$c_0$是可分离的Banach房间,不是同构的(如Banach房间)。

事实上,“总计达到”并不是很准确。 2 Banach房间绝对不是同构的,但由于您只是要求某个地图(初始解决方案中的标识)不是同构,这一点并不重要。 所以我上面提到的实际上更强大。 为了简单地解决2),你可以简单地采用任何类型的无限维Banach空间,并使用无限直的同构本身生成一个新的标准。


解决方案是认为在这篇PlanetMath文章中指定了相同的标准。 如果你只是建议房间在标准地理位置是同胚的,就像Jyotirmoy Bhattacharya所认为的那样,之后提到的实例将无法运作。 尽管如此,还有一些Banach房间的实例具有完全相同的直线测量但不是同胚的,并且这肯定会在任何一种情况下运行。 例如,$\ell^\infty$和$c_0$不是同胚的,因为$\ell^\infty$是不可分离的。 两个房间都有直线测量$2^{\aleph_0}$。 这是针对$c_0$以及$\ell^\infty$所声明的,因为$c_0$安装在$l^\infty$(提供测量的下限),并且还因为$\ell^\infty$的基数是$2^{\aleph_0}$(提供上层)界)。

(我现在很确定这不是你想要的,基于你的编辑,但这仍然提供了一个额外的实例查询以及对Jyotirmoy的回应是评论。)

顺便说一下,看到$2^{\aleph_0}$是$\ell^1$和朋友的直接测量的下限的另一种方法是考虑线性独立的集合$\{(1,t,t^2,t^3,\ldots):0\lt t\lt 1\}$。 房间的基数提供上限。

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2019-05-21 03:48:27
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