超限归纳以及选择公理

我的询问基本上是这样的:为什么当被挑选的集合被一个很好的集合索引时,超限归纳的概念不足以显示选择的公理?

我实际上已经阅读过,可以确认直接归纳的有限选择公理。 您发誓要从中挑选的集合系统的维度,并从每个集合中选择一个组件。 我认识到这一点。 尽管如此,我对这些信息的理解还是值得怀疑的。

1)为什么单独的标准归纳不足以显示可数集合系统的选择公理? 归纳是否表明了自然数的声明的事实,也因此对于任何可以通过全自然数(可数集合)索引的集合系统? 我认识到这是不正确的,但我不明白为什么。

2)为什么不能通过利用超限归纳法将上述“证据”表明感应表明AoC的可数集合不能被修复? 这不是超限归纳的目标,是否允许人们发誓无限维度的集合? 难道不应该超限引导足以证实任何一种由一个良好的集合索引的集合系统的选择公理吗?

我现在读了Jech,但是我的顺从和超限感应的专业知识真的非常不合适,所以我非常赞成具有大量描述和手持的解决方案。

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2019-05-18 21:34:08
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答案: 1

麻烦的是,当您确认选择有限的各种集合时,您还会进行“元”归纳,并且这种“元”归纳在超限或可数实例中不足。

更清楚的是,选择各种馆藏的证据通常与此类似(我认为选择是“非空集合的项目是非空的”)。

基本实例是真实的(你提供一个非空集并且还打算确认它是非空的)。

接下来,以归纳的方式思考,对于任何类型的非空集合$X_1,...,X_n$,项$X_1\times...\times X_n$都是非空的。 目前,提供$n+1$集合,$X_1,...,X_{n+1}$,您打算显示其项目是非空的。 通过归纳理论,有一个组件$y\in X_1\times....\times X_n$。 另外,通过推定存在组件$x_{n+1}\in X_{n+1}$。 之后,$\{\{y,x_{n+1}\}, x_{n+1}\} = (y, x_{n+1})$是项目的一个组件。

在元学位上,你通过解释归纳法所声称的是“我有$n+1$个集合$X_1,...,X_{n+1}$,而且我也认识到每个$X_i$中都有一个组件(由于我们正在做集合论,它本身就是一个集合!)我将其称为$x_i$。通过利用配对公理,我可以创建集合$\{x_1,x_2\}$。通过再次利用它,我可以创建集合$\{\{x_1,x_2\}, x_1\}$,这是$(x_1,x_2)$的定义。利用公理的公理耦合2甚至更多次,我可以创建$(x_1, x_2, x_3)$。作为一个整体(即通过归纳),利用配对$2(n+1)$次的公理,我可以创建集合$(x_1,x_2,...,x_{n+1})$。这个集合(组件)属于$X_1\times...\times X_{n+1}$,因此这也是项目是非空的!“

当您尝试将其调整为可数或更大的设置时,失败的速度就会降低到meta度。 基本上,您肯定需要使用配对公理可数(或甚至更多)次来创建集合$(x_1,...)$,其中“需要”保留在$X_1\times...\times $中。 然而,无知的集理论实际上教育了我们,即使我们假设某些东西“需要”成为一个集合,也没有暗示它需要(例如,作为一个例子,罗素是悖论)。 因此,我们至少不能相信这些证据可以在可数或更大的设置中运行。 当然,这种策略的失败并不表明没有办法从$ZF$确认选择,但是从各种其他方法中可以看出,你无法单独从$ZF$确认选择。

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2019-05-21 06:10:14
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