初等不等式证明

我正在处理一个问题,试图展示以下内容:

$$5a+b > 4\sqrt{ab},$$

其中 $a$ 和 $b$ 是正数。

我已经尝试通过 $\sqrt{ab}$ 增加表达式,到目前为止,公式的两边都是如此。 在这两种情况下,在重构之后,我可能不会结束不等式的存在。 有人可以指导我最好的方向吗?

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2022-07-25 19:44:12
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答案: 3

对于任何类型的实际 $x$ 和 $y$,你有 $$2xy=x^2+y^2-(x-y)^2$$ 和 $x=2\sqrt{a}$ 以及 $y=\sqrt{b}$ 你会得到 $$2(2\sqrt{a}\sqrt{b})=4 a+b-(2\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\leq 4a+b < 5a+b$$ 唯一继续存在的情况(即 $a=0$)是微不足道的。

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2022-07-25 22:41:15
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一般来说,你必须对平方不等式有点小心,但这里没有问题:因为我们假设 $a$ 和 $b$ 是正数,所以 $5a+b$ 是正数,因此 $5a+b>4\sqrt{ab}$ 当且仅当 $(5a+b)^2>16ab$,即当且仅当$25a^2-6ab+b^2>0$。 现在将 $b^2-6ab+25a^2$ 视为 $b$ 的二次方并完成平方:$b^2-6ab+25a^2=(b-3a)^2+16a^2$。 显然是 $(b-3a)^2\ge 0$,由于 $a$ 是正数,所以 $a^2>0$,所以 $(b-3)^2+16a^2>0$。

回顾我们的步骤,我们看到 $(5a+b)^2>16ab$ 和因此 $5a+b=\sqrt{(5a+b)^2}>4\sqrt{ab}$。

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2022-07-25 22:40:54
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设 $a=x^2$ 和 $b=y^2$,其中 $x$ 和 $y$ 为正数。 我们要显示 $5x^2-4xy+y^2 \gt 0$。 从已经 $4x^2-4xy+y^2=(2x-y)^2 \ge 0$ 的事实可以清楚地看出这一点。

或者,请注意 $5x^2-4xy+y^2=x^2((y/x)^2-4(y/x)+5)$. 设 $t=y/x$,并利用 $t^2-4t+5$ 在(例如)$t=0$ 处为正的事实,并且永远不是 $0$,因此它始终为正。

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2022-07-25 22:39:40
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