elementarer ungleichheitsbeweis

Ich betreue ein Howework-Unternehmen und versuche, Folgendes zu überprüfen:

$$5a+b > 4\sqrt{ab},$$

wobei sowohl $a$ als auch $b$ echte Zahlen deklarieren.

Ich habe versucht, den Ausdruck mit $\sqrt{ab}$ zu multiplizieren und dabei beide Seiten der Gleichung bis jetzt zu begleichen. In beiden Fällen kann ich nach dem Refactoring nicht schlussfolgern, dass Ungleichheit gilt. Kann mir jemand die richtigen Anweisungen geben?

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2022-07-25 16:44:12
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Antworten: 3

Für jedes tatsächliche $x$ und auch $y$ haben Sie $$2xy=x^2+y^2-(x-y)^2$$, das $x=2\sqrt{a}$ nimmt, sowie $y=\sqrt{b}$, Sie erhalten $$2(2\sqrt{a}\sqrt{b})=4 a+b-(2\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\leq 4a+b < 5a+b$$, die einzige verbleibende Instanz (dh $a=0$) ist geringfügig.

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2022-07-25 19:41:15
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Im Allgemeinen muss man beim Quadrieren von Ungleichungen etwas vorsichtig sein, aber hier gibt es kein Problem: Da wir davon ausgehen, dass $a$ und $b$ positiv sind, ist $5a+b$ positiv, und daher ist $5a+b>4\sqrt{ab}$ genau dann positiv, wenn $(5a+b)^2>16ab$, also genau dann, wenn $25a^2-6ab+b^2>0$. Stellen Sie sich nun $b^2-6ab+25a^2$ als Quadrat in $b$ vor und vervollständigen Sie das Quadrat: $b^2-6ab+25a^2=(b-3a)^2+16a^2$. Eindeutig $(b-3a)^2\ge 0$, und da $a$ positiv ist, $a^2>0$, also $(b-3)^2+16a^2>0$.

Wenn wir unsere Schritte zurückverfolgen, sehen wir $(5a+b)^2>16ab$ und damit $5a+b=\sqrt{(5a+b)^2}>4\sqrt{ab}$.

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2022-07-25 19:40:54
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Seien $a=x^2$ und $b=y^2$, wobei $x$ und $y$ positiv sind. Wir wollen zeigen, dass $5x^2-4xy+y^2 \gt 0$. Dies wird daran deutlich, dass bereits $4x^2-4xy+y^2=(2x-y)^2 \ge 0$.

Beachten Sie alternativ, dass $5x^2-4xy+y^2=x^2((y/x)^2-4(y/x)+5)$. Lassen Sie $t=y/x$ und verwenden Sie die Tatsache, dass $t^2-4t+5$ bei (sagen wir) $t=0$ positiv ist und niemals $0$ ist, also immer positiv ist.

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2022-07-25 19:39:40
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