preuve d'inégalité élémentaire

J'ai affaire à un problème de travail, essayant de prouver ce qui suit :

$$5a+b > 4\sqrt{ab},$$

où $a$ et $b$ déclarent des nombres authentiques.

J'ai essayé d'augmenter l'expression de $\sqrt{ab}$, en faisant même les deux côtés de la formule jusqu'à présent. Dans les deux cas, après refactorisation, je ne peux pas conclure que l'inégalité tient. Quelqu'un peut-il m'indiquer la direction idéale ?

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2022-07-25 16:44:12
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Réponses: 3

Pour tout véritable $x$ et aussi $y$, vous avez $$2xy=x^2+y^2-(x-y)^2$$ prenant $x=2\sqrt{a}$ et $y=\sqrt{b}$, vous obtenez $$2(2\sqrt{a}\sqrt{b})=4 a+b-(2\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\leq 4a+b < 5a+b$$, la seule situation restante (c'est-à-dire $a=0$) est insignifiante.

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2022-07-25 19:41:15
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En général, il faut faire un peu attention à la quadrature des inégalités, mais ici il n'y a pas de problème : puisque nous supposons que $a$ et $b$ sont positifs, $5a+b$ est positif, et donc $5a+b>4\sqrt{ab}$ si et seulement si $(5a+b)^2>16ab$, c'est-à-dire si et seulement si $25a^2-6ab+b^2>0$. Pensez maintenant à $b^2-6ab+25a^2$ comme un quadratique dans $b$ et complétez le carré : $b^2-6ab+25a^2=(b-3a)^2+16a^2$. Clairement $(b-3a)^2\ge 0$, et puisque $a$ est positif, $a^2>0$, donc $(b-3)^2+16a^2>0$.

En revenant sur nos pas, nous voyons que $(5a+b)^2>16ab$ et donc que $5a+b=\sqrt{(5a+b)^2}>4\sqrt{ab}$.

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2022-07-25 19:40:54
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Soit $a=x^2$ et $b=y^2$, où $x$ et $y$ sont positifs. Nous voulons montrer que $5x^2-4xy+y^2 \gt 0$. Cela ressort clairement du fait que déjà $4x^2-4xy+y^2=(2x-y)^2 \ge 0$.

Sinon, notez que $5x^2-4xy+y^2=x^2((y/x)^2-4(y/x)+5)$. Soit $t=y/x$, et utilise le fait que $t^2-4t+5$ est positif à (disons) $t=0$, et n'est jamais $0$, donc il est toujours positif.

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2022-07-25 19:39:40
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