dimostrazione della disuguaglianza elementare

Ho a che fare con un problema di lavoro, cercando di mostrare quanto segue:

$$5a+b > 4\sqrt{ab},$$

dove $a$ e $b$ sono numeri reali positivi.

Ho provato ad aumentare l'espressione di $\sqrt{ab}$, quadrando entrambi i lati della formula fino ad ora. In entrambi i casi, dopo il refactoring, non ho potuto porre fine al fatto che la disuguaglianza vale. Qualcuno può mirarmi nelle giuste istruzioni?

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2022-07-25 16:44:12
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Jawaban: 3

Per ogni $x$ reale e anche $y$ hai $$2xy=x^2+y^2-(x-y)^2$$ che prende $x=2\sqrt{a}$ così come $y=\sqrt{b}$ ottieni $$2(2\sqrt{a}\sqrt{b})=4 a+b-(2\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\leq 4a+b < 5a+b$$ l'unico caso rimasto (cioè $a=0$) non è importante.

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2022-07-25 19:41:15
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In generale bisogna stare un po' attenti a quadrare le disuguaglianze, ma qui non c'è problema: dato che assumiamo che $a$ e $b$ siano positivi, $5a+b$ è positivo, e quindi $5a+b>4\sqrt{ab}$ se e solo se $(5a+b)^2>16ab$, cioè se e solo se xx_matematica_5. Ora pensa a $b^2-6ab+25a^2$ come a un quadratico in $b$ e completa il quadrato: $b^2-6ab+25a^2=(b-3a)^2+16a^2$. Chiaramente $(b-3a)^2\ge 0$, e poiché $a$ è positivo, $a^2>0$, quindi $(b-3)^2+16a^2>0$.

Ripercorrendo i nostri passi, vediamo che $(5a+b)^2>16ab$ e quindi $5a+b=\sqrt{(5a+b)^2}>4\sqrt{ab}$.

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2022-07-25 19:40:54
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Siano $a=x^2$ e $b=y^2$, dove $x$ e $y$ sono positivi. Vogliamo mostrare che $5x^2-4xy+y^2 \gt 0$. Questo è chiaro dal fatto che già $4x^2-4xy+y^2=(2x-y)^2 \ge 0$.

In alternativa, nota che $5x^2-4xy+y^2=x^2((y/x)^2-4(y/x)+5)$. Sia $t=y/x$, e usa il fatto che $t^2-4t+5$ è positivo a (diciamo) $t=0$, e non è mai $0$, quindi è sempre positivo.

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2022-07-25 19:39:40
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