доказательство элементарного неравенства

Я работаю над опросом, пытаясь показать следующее:

$$5a+b > 4\sqrt{ab},$$

где $a$ и $b$ — положительные действительные числа.

Я попытался умножить выражение на $\sqrt{ab}$, до сих пор решая обе части уравнения. В обоих случаях после рефакторинга я не могу заключить, что неравенство выполняется. Может ли кто-нибудь направить меня в лучшие инструкции?

1
2022-07-25 16:44:12
Источник Поделиться
Ответы: 3

Для любого типа фактического $x$, а также $y$ у вас есть $$2xy=x^2+y^2-(x-y)^2$$, принимающий $x=2\sqrt{a}$, а также $y=\sqrt{b}$, вы получаете $$2(2\sqrt{a}\sqrt{b})=4 a+b-(2\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\leq 4a+b < 5a+b$$, единственный оставшийся случай (т.е. $a=0$) является второстепенным.

3
2022-07-25 19:41:15
Источник

В общем, вы должны быть немного осторожны с возведением в квадрат неравенств, но здесь нет проблем: поскольку мы предполагаем, что $a$ и $b$ положительны, $5a+b$ положительна, и, следовательно, $5a+b>4\sqrt{ab}$ тогда и только тогда, когда $(5a+b)^2>16ab$, т. е. тогда и только тогда, когда хх_математика_5. Теперь подумайте о $b^2-6ab+25a^2$ как о квадрате в $b$ и заполните квадрат: $b^2-6ab+25a^2=(b-3a)^2+16a^2$. Ясно, что $(b-3a)^2\ge 0$, и, поскольку $a$ положительное, $a^2>0$, значит, $(b-3)^2+16a^2>0$.

Повторяя наши действия, мы видим, что $(5a+b)^2>16ab$ и, следовательно, $5a+b=\sqrt{(5a+b)^2}>4\sqrt{ab}$.

4
2022-07-25 19:40:54
Источник

Пусть $a=x^2$ и $b=y^2$, где $x$ и $y$ положительны. Мы хотим показать, что $5x^2-4xy+y^2 \gt 0$. Это видно из того, что уже $4x^2-4xy+y^2=(2x-y)^2 \ge 0$.

В качестве альтернативы обратите внимание, что $5x^2-4xy+y^2=x^2((y/x)^2-4(y/x)+5)$. Позвольте $t=y/x$ и используйте тот факт, что $t^2-4t+5$ положителен в (скажем) $t=0$ и никогда не равен $0$, поэтому он всегда положителен.

0
2022-07-25 19:39:40
Источник

Смежные вопросы