temel eşitsizlik kanıtı

Aşağıdakileri göstermeye çalışarak bir nasıl çalışma sorusuna hizmet ediyorum:

$$5a+b > 4\sqrt{ab},$$

burada $a$ ve $b$ pozitif gerçek sayılardır.

Şimdiye kadar denklemin her iki tarafını da ayarlayarak ifadeyi $\sqrt{ab}$ ile çarpmaya çalıştım. Her iki durumda da, yeniden çarpanlara ayırdıktan sonra, eşitsizliğin devam ettiğini toparlayamam. Biri beni uygun yöne doğrultabilir mi?

1
2022-07-25 16:44:12
Kaynak Pay
Cevaplar: 3

Her tür gerçek $x$ ve ayrıca $y$ için $$2xy=x^2+y^2-(x-y)^2$$'a sahip olursunuz, $x=2\sqrt{a}$'ün yanı sıra $y=\sqrt{b}$'i alırsınız, kalan tek durum (yani $a=0$) önemsizdir.

3
2022-07-25 19:41:15
Kaynak

Genel olarak eşitsizliklerin karesini alma konusunda biraz dikkatli olmalısınız, ancak burada sorun yok: $a$ ve $b$'in pozitif olduğunu varsaydığımız için, $5a+b$ pozitiftir ve bu nedenle $5a+b>4\sqrt{ab}$ ancak ve ancak $(5a+b)^2>16ab$, yani, ancak ve ancak $25a^2-6ab+b^2>0$. Şimdi $b^2-6ab+25a^2$'yı $b$'de ikinci dereceden bir sayı olarak düşünün ve kareyi tamamlayın: $b^2-6ab+25a^2=(b-3a)^2+16a^2$. Açıkça $(b-3a)^2\ge 0$ ve $a$ pozitif olduğundan, $a^2>0$, yani $(b-3)^2+16a^2>0$.

Adımlarımızı geri alarak, $(5a+b)^2>16ab$'ü ve dolayısıyla $5a+b=\sqrt{(5a+b)^2}>4\sqrt{ab}$'ü görüyoruz.

4
2022-07-25 19:40:54
Kaynak

$x$ ve $y$ pozitif olmak üzere $a=x^2$ ve $b=y^2$ olsun. $5x^2-4xy+y^2 \gt 0$ olduğunu göstermek istiyoruz. Bu, zaten $4x^2-4xy+y^2=(2x-y)^2 \ge 0$ olduğu gerçeğinden açıktır.

Alternatif olarak, $5x^2-4xy+y^2=x^2((y/x)^2-4(y/x)+5)$ olduğunu unutmayın. $t=y/x$ olsun ve $t^2-4t+5$'in (diyelim) $t=0$'da pozitif olduğu ve hiçbir zaman $0$ olmadığı gerçeğini kullanın, bu nedenle her zaman pozitiftir.

0
2022-07-25 19:39:40
Kaynak